微积分学示例

$x^{4} \ln (x) - \frac{1}{2} x^{2}$

解题步骤 1

根据加法法则， $x^{4} \ln (x) - \frac{1}{2} x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$ 。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

解题步骤 2.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

解题步骤 2.4

组合 $x^{4}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

解题步骤 2.5

约去 $x^{4}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

解题步骤 2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 2.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

解题步骤 2.5.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

解题步骤 2.5.2.3

约去公因数。

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

解题步骤 2.5.2.4

重写表达式。

$\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

解题步骤 2.5.2.5

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{2} x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) - \frac{1}{2} (2 x)$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) - 2 (\frac{1}{2}) x$

解题步骤 3.4

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{- 2}{2} x$

解题步骤 3.5

组合 $\frac{- 2}{2}$ 和 $x$ 。

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{- 2 x}{2}$

解题步骤 3.6

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{2 (- x)}{2}$

解题步骤 3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 3.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

解题步骤 3.6.2.2

约去公因数。

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.2.3

重写表达式。

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{- x}{1}$

解题步骤 3.6.2.4

用 $- x$ 除以 $1$ 。

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) - x$

解题步骤 4

重新排序项。

$x^{3} + 4 x^{3} \ln (x) - x$

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