微积分学示例

$x^{e x}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 1.1

将 $x^{e x}$ 重写为 $e^{\ln (x^{e x})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{e x})}]$

解题步骤 1.2

通过将 $e x$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{e x})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{e x \ln (x)}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = e x \ln (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $e x \ln (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [e x \ln (x)]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [e x \ln (x)]$

解题步骤 2.3

使用 $e x \ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{e x \ln (x)} \frac{d}{d x} [e x \ln (x)]$

解题步骤 3

因为 $e$ 对于 $x$ 是常数，所以 $e x \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $e \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ 。

$e^{e x \ln (x)} (e \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

解题步骤 4

通过指数相加将 $e^{e x \ln (x)}$ 乘以 $e$ 。

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解题步骤 4.1

移动 $e$ 。

$e e^{e x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

解题步骤 4.2

将 $e$ 乘以 $e^{e x \ln (x)}$ 。

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解题步骤 4.2.1

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{1} e^{e x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{1 + e x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

解题步骤 5

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$e^{1 + e x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{1 + e x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7

使用幂法则求微分。

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解题步骤 7.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{1 + e x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

约去公因数。

$e^{1 + e x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7.2.2

重写表达式。

$e^{1 + e x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{1 + e x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

解题步骤 7.4

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$e^{1 + e x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

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