微积分学示例

$x^{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}] + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 3$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 3$ 。

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$x^{3} (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.3

使用 $x^{2} + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 7

合并分数。

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解题步骤 7.1

将负号移到分数的前面。

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(x^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$x^{3} (\frac{{(x^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$x^{3} (\frac{1}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 7.4

组合 $\frac{1}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3] + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 8

根据加法法则， $x^{2} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 10

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 11

合并分数。

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解题步骤 11.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (2 x) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 11.2

组合 $2$ 和 $\frac{x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{2 x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} x + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 11.3

组合 $\frac{2 x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} x}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x^{3})}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{1 + 3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 14

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} (3 x^{2})$

解题步骤 16

将 $3$ 移到 ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ 的左侧。

$\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + 3 \cdot {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{2}$

解题步骤 17

用公分母合并 $\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{2}$ 。

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解题步骤 17.1

移动 ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + 3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 17.2

要将 $3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + 3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 17.3

组合 $3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 17.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x^{4} + 3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 19

通过指数相加将 ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 ${(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 19.1

移动 ${(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} ({(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 19.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 19.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 19.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{3}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 19.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{1}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 20

化简 $9 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{1}$ 。

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} (x^{2} + 3)}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 21

化简。

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解题步骤 21.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} x^{2} + 9 x^{2} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 21.2

化简分子。

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解题步骤 21.2.1

化简每一项。

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解题步骤 21.2.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 21.2.1.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{2 x^{4} + 9 (x^{2} x^{2}) + 9 x^{2} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 21.2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2 + 2} + 9 x^{2} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 21.2.1.1.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{4} + 9 x^{2} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 21.2.1.2

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{4} + 27 x^{2}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 21.2.2

将 $2 x^{4}$ 和 $9 x^{4}$ 相加。

$\frac{11 x^{4} + 27 x^{2}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 21.3

从 $11 x^{4} + 27 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 21.3.1

从 $11 x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (11 x^{2}) + 27 x^{2}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 21.3.2

从 $27 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (11 x^{2}) + x^{2} \cdot 27}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 21.3.3

从 $x^{2} (11 x^{2}) + x^{2} \cdot 27$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (11 x^{2} + 27)}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

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