微积分学示例

$x^{2} \ln (x) - 3 x e^{x}$

解题步骤 1

根据加法法则， $x^{2} \ln (x) - 3 x e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$ 。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

解题步骤 2.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

解题步骤 2.4

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

解题步骤 2.5

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

解题步骤 2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 2.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

解题步骤 2.5.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

解题步骤 2.5.2.3

约去公因数。

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

解题步骤 2.5.2.4

重写表达式。

$\frac{x}{1} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

解题步骤 2.5.2.5

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 。

$x + \ln (x) (2 x) - 3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$x + \ln (x) (2 x) - 3 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x + \ln (x) (2 x) - 3 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x + \ln (x) (2 x) - 3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

解题步骤 3.5

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$x + \ln (x) (2 x) - 3 (x e^{x} + e^{x})$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$x + \ln (x) (2 x) - 3 (x e^{x}) - 3 e^{x}$

解题步骤 4.2

去掉多余的括号。

$x + \ln (x) (2 x) - 3 x e^{x} - 3 e^{x}$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$2 x \ln (x) - 3 e^{x} x + x - 3 e^{x}$

解题步骤 4.4

将 $2 x \ln (x) - 3 e^{x} x + x - 3 e^{x}$ 中的因式重新排序。

$2 x \ln (x) - 3 x e^{x} + x - 3 e^{x}$

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