微积分学示例

$x^{2} \arctan (e^{x})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \arctan (e^{x})$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [\arctan (e^{x})] + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $e^{x}$ 。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$x^{2} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.3

使用 $e^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} (\frac{1}{1 + {(e^{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3

合并分数。

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解题步骤 3.1

将 ${(e^{x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{2} (\frac{1}{1 + e^{x \cdot 2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} (\frac{1}{1 + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{1}{1 + e^{2 x}}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2}}{1 + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{x^{2}}{1 + e^{2 x}} e^{x} + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{x^{2}}{1 + e^{2 x}}$ 和 $e^{x}$ 。

$\frac{x^{2} e^{x}}{1 + e^{2 x}} + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{2} e^{x}}{1 + e^{2 x}} + \arctan (e^{x}) (2 x)$

解题步骤 6

要将 $\arctan (e^{x}) (2 x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ 。

$\frac{x^{2} e^{x}}{1 + e^{2 x}} + \frac{\arctan (e^{x}) (2 x) (1 + e^{2 x})}{1 + e^{2 x}}$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2} e^{x} + \arctan (e^{x}) (2 x) (1 + e^{2 x})}{1 + e^{2 x}}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} e^{x} + \arctan (e^{x}) (2 x) \cdot 1 + \arctan (e^{x}) (2 x) e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$

解题步骤 8.2

化简分子。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x^{2} e^{x} + 2 \arctan (e^{x}) x \cdot 1 + \arctan (e^{x}) (2 x) e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$

解题步骤 8.2.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} e^{x} + 2 \arctan (e^{x}) x + \arctan (e^{x}) (2 x) e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$

解题步骤 8.2.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x^{2} e^{x} + 2 \arctan (e^{x}) x + 2 \arctan (e^{x}) x e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$

解题步骤 8.2.2

将 $x^{2} e^{x} + 2 \arctan (e^{x}) x + 2 \arctan (e^{x}) x e^{2 x}$ 中的因式重新排序。

$\frac{x^{2} e^{x} + 2 x \arctan (e^{x}) + 2 x e^{2 x} \arctan (e^{x})}{1 + e^{2 x}}$

解题步骤 8.3

重新排序项。

$\frac{e^{x} x^{2} + 2 x \arctan (e^{x}) + 2 e^{2 x} x \arctan (e^{x})}{1 + e^{2 x}}$

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