微积分学示例

$x^{2} {(6 - x)}^{3}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = {(6 - x)}^{3}$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(6 - x)}^{3}] + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 6 - x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $6 - x$ 。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.3

使用 $6 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $6 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2} \cdot 1) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.7

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + {(6 - x)}^{3} (2 x)$

解题步骤 3.9

将 $2$ 移到 ${(6 - x)}^{3}$ 的左侧。

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + 2 \cdot {(6 - x)}^{3} x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

从 $x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + 2 {(6 - x)}^{3} x$ 中分解出因数 $x {(6 - x)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.1

从 $x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2})$ 中分解出因数 $x {(6 - x)}^{2}$ 。

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + 2 {(6 - x)}^{3} x$

解题步骤 4.1.2

从 $2 {(6 - x)}^{3} x$ 中分解出因数 $x {(6 - x)}^{2}$ 。

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x {(6 - x)}^{2} (2 (6 - x))$

解题步骤 4.1.3

从 $x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x {(6 - x)}^{2} (2 (6 - x))$ 中分解出因数 $x {(6 - x)}^{2}$ 。

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3) + 2 (6 - x))$

解题步骤 4.2

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$x {(6 - x)}^{2} (- 3 x + 2 (6 - x))$

解题步骤 4.3

将 ${(6 - x)}^{2}$ 重写为 $(6 - x) (6 - x)$ 。

$x ((6 - x) (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

解题步骤 4.4

使用 FOIL 方法展开 $(6 - x) (6 - x)$ 。

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解题步骤 4.4.1

运用分配律。

$x (6 (6 - x) - x (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

解题步骤 4.4.2

运用分配律。

$x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

解题步骤 4.4.3

运用分配律。

$x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

解题步骤 4.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.5.1

化简每一项。

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解题步骤 4.5.1.1

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$x (36 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

解题步骤 4.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$x (36 - 6 x - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

解题步骤 4.5.1.3

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$x (36 - 6 x - 6 x - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

解题步骤 4.5.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 3 x + 2 (6 - x))$

解题步骤 4.5.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.5.1.5.1

移动 $x$ 。

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

解题步骤 4.5.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

解题步骤 4.5.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x (36 - 6 x - 6 x + 1 x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

解题步骤 4.5.1.7

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$x (36 - 6 x - 6 x + x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

解题步骤 4.5.2

从 $- 6 x$ 中减去 $6 x$ 。

$x (36 - 12 x + x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

解题步骤 4.6

运用分配律。

$(x \cdot 36 + x (- 12 x) + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

解题步骤 4.7

化简。

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解题步骤 4.7.1

将 $36$ 移到 $x$ 的左侧。

$(36 \cdot x + x (- 12 x) + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

解题步骤 4.7.2

使用乘法的交换性质重写。

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

解题步骤 4.7.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.7.3.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.7.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{1} x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

解题步骤 4.7.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{1 + 2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

解题步骤 4.7.3.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

解题步骤 4.8

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.8.1

移动 $x$ 。

$(36 x - 12 (x \cdot x) + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

解题步骤 4.8.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

解题步骤 4.9

化简每一项。

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解题步骤 4.9.1

运用分配律。

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 2 \cdot 6 + 2 (- x))$

解题步骤 4.9.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 12 + 2 (- x))$

解题步骤 4.9.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 12 - 2 x)$

解题步骤 4.10

从 $- 3 x$ 中减去 $2 x$ 。

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 5 x + 12)$

解题步骤 4.11

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 5 x + 12)$ 。

$36 x (- 5 x) + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

解题步骤 4.12

化简每一项。

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解题步骤 4.12.1

使用乘法的交换性质重写。

$36 \cdot - 5 x \cdot x + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

解题步骤 4.12.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.12.2.1

移动 $x$ 。

$36 \cdot - 5 (x \cdot x) + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

解题步骤 4.12.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$36 \cdot - 5 x^{2} + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

解题步骤 4.12.3

将 $36$ 乘以 $- 5$ 。

$- 180 x^{2} + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

解题步骤 4.12.4

将 $12$ 乘以 $36$ 。

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

解题步骤 4.12.5

使用乘法的交换性质重写。

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{2} x - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

解题步骤 4.12.6

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.12.6.1

移动 $x$ 。

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 (x \cdot x^{2}) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

解题步骤 4.12.6.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.12.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 (x^{1} x^{2}) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

解题步骤 4.12.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{1 + 2} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

解题步骤 4.12.6.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{3} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

解题步骤 4.12.7

将 $- 12$ 乘以 $- 5$ 。

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

解题步骤 4.12.8

将 $12$ 乘以 $- 12$ 。

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

解题步骤 4.12.9

使用乘法的交换性质重写。

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{3} x + x^{3} \cdot 12$

解题步骤 4.12.10

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.12.10.1

移动 $x$ 。

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 12$

解题步骤 4.12.10.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 4.12.10.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot 12$

解题步骤 4.12.10.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot 12$

解题步骤 4.12.10.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{4} + x^{3} \cdot 12$

解题步骤 4.12.11

将 $12$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{4} + 12 x^{3}$

解题步骤 4.13

从 $- 180 x^{2}$ 中减去 $144 x^{2}$ 。

$- 324 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 5 x^{4} + 12 x^{3}$

解题步骤 4.14

将 $60 x^{3}$ 和 $12 x^{3}$ 相加。

$- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$

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