微积分学示例

$f (x) = (2 x - 1) (\ln (5 x + 1) + x^{2})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 2 x - 1$ 且 $g (x) = \ln (5 x + 1) + x^{2}$ 。

$(2 x - 1) \frac{d}{d x} [\ln (5 x + 1) + x^{2}] + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 2

根据加法法则， $\ln (5 x + 1) + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\ln (5 x + 1)] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [\ln (5 x + 1)] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 5 x + 1$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 x + 1$ 。

$(2 x - 1) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x + 1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 3.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$(2 x - 1) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x + 1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 3.3

使用 $5 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} \frac{d}{d x} [5 x + 1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $5 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 4.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 4.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} (5 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 4.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} (5 + 0) + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 4.6

合并分数。

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解题步骤 4.6.1

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$(2 x - 1) (\frac{1}{5 x + 1} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 4.6.2

组合 $\frac{1}{5 x + 1}$ 和 $5$ 。

$(2 x - 1) (\frac{5}{5 x + 1} + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 4.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(2 x - 1) (\frac{5}{5 x + 1} + 2 x) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 5

要将 $2 x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5 x + 1}{5 x + 1}$ 。

$(2 x - 1) (\frac{5}{5 x + 1} + \frac{2 x (5 x + 1)}{5 x + 1}) + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 7

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 8

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 10

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 11

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) (2 + 0)$

解题步骤 12

化简表达式。

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解题步骤 12.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + (\ln (5 x + 1) + x^{2}) \cdot 2$

解题步骤 12.2

将 $2$ 移到 $\ln (5 x + 1) + x^{2}$ 的左侧。

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x + 1)}{5 x + 1} + 2 \cdot (\ln (5 x + 1) + x^{2})$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

运用分配律。

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x) + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 (\ln (5 x + 1) + x^{2})$

解题步骤 13.2

运用分配律。

$(2 x - 1) \frac{5 + 2 x (5 x) + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

解题步骤 13.3

合并项。

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解题步骤 13.3.1

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$(2 x - 1) \frac{5 + 10 x \cdot x + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

解题步骤 13.3.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(2 x - 1) \frac{5 + 10 (x^{1} x) + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

解题步骤 13.3.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(2 x - 1) \frac{5 + 10 (x^{1} x^{1}) + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

解题步骤 13.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(2 x - 1) \frac{5 + 10 x^{1 + 1} + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

解题步骤 13.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(2 x - 1) \frac{5 + 10 x^{2} + 2 x \cdot 1}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

解题步骤 13.3.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$(2 x - 1) \frac{5 + 10 x^{2} + 2 x}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1) + 2 x^{2}$

解题步骤 13.4

重新排序项。

$2 x^{2} + (2 x - 1) \frac{5 + 10 x^{2} + 2 x}{5 x + 1} + 2 \ln (5 x + 1)$

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