微积分学示例

$f (x) = (2 x + 1) \cos (x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 2 x + 1$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$(2 x + 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

解题步骤 2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$(2 x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$(2 x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(2 x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(2 x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$(2 x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 3.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(2 x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 + 0)$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$(2 x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 2$

解题步骤 3.6.2

将 $2$ 移到 $\cos (x)$ 的左侧。

$(2 x + 1) (- \sin (x)) + 2 \cdot \cos (x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$2 x (- \sin (x)) + 1 (- \sin (x)) + 2 \cos (x)$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 x \sin (x) + 1 (- \sin (x)) + 2 \cos (x)$

解题步骤 4.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 2 x \sin (x) - 1 \sin (x) + 2 \cos (x)$

解题步骤 4.2.3

将 $- 1 \sin (x)$ 重写为 $- \sin (x)$ 。

$- 2 x \sin (x) - \sin (x) + 2 \cos (x)$

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