微积分学示例

$f (x) = (x^{3}) \sqrt[5]{2 - x}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{2 - x}$ 重写成 ${(2 - x)}^{\frac{1}{5}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3} {(2 - x)}^{\frac{1}{5}}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = {(2 - x)}^{\frac{1}{5}}$ 。

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{\frac{1}{5}}] + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ 且 $g (x) = 2 - x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 - x$ 。

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{5}$ 。

$x^{3} (\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.3

使用 $2 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $5$ 。

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 8

合并分数。

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解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 ${(2 - x)}^{- \frac{4}{5}}$ 。

$x^{3} (\frac{{(2 - x)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(2 - x)}^{- \frac{4}{5}}$ 移动到分母。

$x^{3} (\frac{1}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 8.4

组合 $\frac{1}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [2 - x] + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 9

根据加法法则， $2 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 10

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 11

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 12

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} (- 1 \cdot 1) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 14

合并分数。

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解题步骤 14.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} \cdot - 1 + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 14.2

组合 $\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{x^{3} \cdot - 1}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 14.3

化简表达式。

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解题步骤 14.3.1

将 $- 1$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$\frac{- 1 \cdot x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 14.3.2

将 $- 1 x^{3}$ 重写为 $- x^{3}$ 。

$\frac{- x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 14.3.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- \frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} (3 x^{2})$

解题步骤 16

重新排序。

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解题步骤 16.1

将 $3$ 移到 ${(2 - x)}^{\frac{1}{5}}$ 的左侧。

$- \frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} + 3 \cdot {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} x^{2}$

解题步骤 16.2

移动 ${(- x + 2)}^{\frac{1}{5}}$ 。

$- \frac{x^{3}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}} + 3 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}}$

解题步骤 17

要将 $3 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$ 。

$- \frac{x^{3}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}} + 3 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}} \cdot \frac{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 18

组合 $3 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}}$ 和 $\frac{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$ 。

$- \frac{x^{3}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}} + \frac{3 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}} (5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}})}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 19

在公分母上合并分子。

$\frac{- x^{3} + 3 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}} (5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}})}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 20

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}} {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 21

通过指数相加将 ${(- x + 2)}^{\frac{1}{5}}$ 乘以 ${(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}$ 。

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解题步骤 21.1

移动 ${(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}$ 。

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} ({(- x + 2)}^{\frac{4}{5}} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}})}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 21.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{4}{5} + \frac{1}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 21.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{4 + 1}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 21.4

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{5}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 21.5

用 $5$ 除以 $5$ 。

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} {(- x + 2)}^{1}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 22

化简 $15 x^{2} {(- x + 2)}^{1}$ 。

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} (- x + 2)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 23

化简。

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解题步骤 23.1

运用分配律。

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} (- x) + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 23.2

化简分子。

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解题步骤 23.2.1

化简每一项。

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解题步骤 23.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- x^{3} + 15 \cdot - 1 x^{2} x + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 23.2.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 23.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{- x^{3} + 15 \cdot - 1 (x \cdot x^{2}) + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 23.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 23.2.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- x^{3} + 15 \cdot - 1 (x^{1} x^{2}) + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 23.2.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- x^{3} + 15 \cdot - 1 x^{1 + 2} + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 23.2.1.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- x^{3} + 15 \cdot - 1 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 23.2.1.3

将 $15$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{3} - 15 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 23.2.1.4

将 $2$ 乘以 $15$ 。

$\frac{- x^{3} - 15 x^{3} + 30 x^{2}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 23.2.2

从 $- x^{3}$ 中减去 $15 x^{3}$ 。

$\frac{- 16 x^{3} + 30 x^{2}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 23.3

从 $- 16 x^{3} + 30 x^{2}$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

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解题步骤 23.3.1

从 $- 16 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$\frac{2 x^{2} (- 8 x) + 30 x^{2}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 23.3.2

从 $30 x^{2}$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$\frac{2 x^{2} (- 8 x) + 2 x^{2} (15)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 23.3.3

从 $2 x^{2} (- 8 x) + 2 x^{2} (15)$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$\frac{2 x^{2} (- 8 x + 15)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 23.4

从 $- 8 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{2} (- (8 x) + 15)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 23.5

将 $15$ 重写为 $- 1 (- 15)$ 。

$\frac{2 x^{2} (- (8 x) - 1 (- 15))}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 23.6

从 $- (8 x) - 1 (- 15)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{2} (- (8 x - 15))}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 23.7

将 $- (8 x - 15)$ 重写为 $- 1 (8 x - 15)$ 。

$\frac{2 x^{2} (- 1 (8 x - 15))}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 23.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(2 x^{2}) (8 x - 15)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 23.9

将 $- \frac{(2 x^{2}) (8 x - 15)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{2 x^{2} (8 x - 15)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

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