微积分学示例

$f (u) = \sqrt{u} (5 - u^{6})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}} (5 - u^{6})]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ 等于 $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ ，其中 $f (u) = u^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (u) = 5 - u^{6}$ 。

$u^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d u} [5 - u^{6}] + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $5 - u^{6}$ 对 $u$ 的导数是 $\frac{d}{d u} [5] + \frac{d}{d u} [- u^{6}]$ 。

$u^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [5] + \frac{d}{d u} [- u^{6}]) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2

因为 $5$ 对于 $u$ 是常数，所以 $5$ 对 $u$ 的导数为 $0$ 。

$u^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d u} [- u^{6}]) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d u} [- u^{6}]$ 相加。

$u^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d u} [- u^{6}] + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.4

因为 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以 $- u^{6}$ 对 $u$ 的导数是 $- \frac{d}{d u} [u^{6}]$ 。

$u^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d u} [u^{6}]) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$u^{\frac{1}{2}} (- (6 u^{5})) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.6

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$u^{\frac{1}{2}} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4

通过指数相加将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $u^{5}$ 。

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解题步骤 4.1

移动 $u^{5}$ 。

$u^{5} u^{\frac{1}{2}} \cdot - 6 + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$u^{5 + \frac{1}{2}} \cdot - 6 + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.3

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$u^{5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot - 6 + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.4

组合 $5$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$u^{\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot - 6 + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$u^{\frac{5 \cdot 2 + 1}{2}} \cdot - 6 + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$u^{\frac{10 + 1}{2}} \cdot - 6 + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.6.2

将 $10$ 和 $1$ 相加。

$u^{\frac{11}{2}} \cdot - 6 + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 5

将 $- 6$ 移到 $u^{\frac{11}{2}}$ 的左侧。

$- 6 \cdot u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 9

在公分母上合并分子。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 10

化简分子。

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解题步骤 10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 11

将负号移到分数的前面。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) \frac{u^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $u^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

运用分配律。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2

合并项。

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解题步骤 14.2.1

组合 $5$ 和 $\frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2.2

组合 $\frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$ 和 $u^{6}$ 。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{6}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2.3

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $u^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{6} u^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 14.2.4

通过指数相加将 $u^{6}$ 乘以 $u^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 14.2.4.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{6 - \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 14.2.4.2

要将 $6$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 14.2.4.3

组合 $6$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{\frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 14.2.4.4

在公分母上合并分子。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{\frac{6 \cdot 2 - 1}{2}}}{2}$

解题步骤 14.2.4.5

化简分子。

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解题步骤 14.2.4.5.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{\frac{12 - 1}{2}}}{2}$

解题步骤 14.2.4.5.2

从 $12$ 中减去 $1$ 。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{\frac{11}{2}}}{2}$

解题步骤 14.2.5

要将 $- 6 u^{\frac{11}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2.6

组合 $- 6 u^{\frac{11}{2}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 6 u^{\frac{11}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{- 6 u^{\frac{11}{2}} \cdot 2 - u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2.8

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{- 12 u^{\frac{11}{2}} - u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2.9

从 $- 12 u^{\frac{11}{2}}$ 中减去 $u^{\frac{11}{2}}$ 。

$\frac{- 13 u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{13 u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.3

重新排序项。

$\frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{13 u^{\frac{11}{2}}}{2}$

微积分学 示例

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