微积分学示例

$f (t) = \frac{1}{\arctan (3 t)}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{\arctan (3 t)}$ 重写为 ${\arctan (3 t)}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d t} [{\arctan (3 t)}^{- 1}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{- 1}$ 且 $g (t) = \arctan (3 t)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\arctan (3 t)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [\arctan (3 t)]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [\arctan (3 t)]$

解题步骤 2.3

使用 $\arctan (3 t)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [\arctan (3 t)]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \arctan (t)$ 且 $g (t) = 3 t$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 t$ 。

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 t])$

解题步骤 3.2

$\arctan (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ 。

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

解题步骤 3.3

使用 $3 t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + {(3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

从 $3 t$ 中分解出因数 $3$ 。

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + {(3 (t))}^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

解题步骤 4.2

合并分数。

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解题步骤 4.2.1

化简表达式。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $3 (t)$ 运用乘积法则。

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + 3^{2} t^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

解题步骤 4.2.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + 9 t^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

解题步骤 4.2.2

组合 $\frac{1}{1 + 9 t^{2}}$ 和 ${\arctan (3 t)}^{- 2}$ 。

$- \frac{{\arctan (3 t)}^{- 2}}{1 + 9 t^{2}} \frac{d}{d t} [3 t]$

解题步骤 4.2.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${\arctan (3 t)}^{- 2}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [3 t]$

解题步骤 4.3

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$- \frac{1}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} (3 \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4.4

合并分数。

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解题步骤 4.4.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 \frac{1}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.4.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}}$ 。

$\frac{- 3}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.4.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{3}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \cdot 1$

解题步骤 4.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{3}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$- \frac{3}{1 {\arctan (3 t)}^{2} + 9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}}$

解题步骤 5.2

将 ${\arctan (3 t)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{3}{{\arctan (3 t)}^{2} + 9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}}$

解题步骤 5.3

从 ${\arctan (3 t)}^{2} + 9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}$ 中分解出因数 ${\arctan (3 t)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1

乘以 $1$ 。

$- \frac{3}{{\arctan (3 t)}^{2} \cdot 1 + 9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

从 $9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}$ 中分解出因数 ${\arctan (3 t)}^{2}$ 。

$- \frac{3}{{\arctan (3 t)}^{2} \cdot 1 + {\arctan (3 t)}^{2} (9 t^{2})}$

解题步骤 5.3.3

从 ${\arctan (3 t)}^{2} \cdot 1 + {\arctan (3 t)}^{2} (9 t^{2})$ 中分解出因数 ${\arctan (3 t)}^{2}$ 。

$- \frac{3}{{\arctan (3 t)}^{2} (1 + 9 t^{2})}$

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