微积分学示例

$f (t) = {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{\frac{3}{2}}$ 且 $g (t) = 4 t^{2} - 2 t + 5$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 t^{2} - 2 t + 5$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 2 t + 5]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 2 t + 5]$

解题步骤 1.3

使用 $4 t^{2} - 2 t + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 2 t + 5]$

解题步骤 2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 2 t + 5]$

解题步骤 3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 2 t + 5]$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 2 t + 5]$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 2 t + 5]$

解题步骤 5.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 2 t + 5]$

解题步骤 6

组合 $\frac{3}{2}$ 和 ${(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 2 t + 5]$

解题步骤 7

根据加法法则， $4 t^{2} - 2 t + 5$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [5]$ 。

$\frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [5])$

解题步骤 8

因为 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $4 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$\frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (4 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [5])$

解题步骤 9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (4 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [5])$

解题步骤 10

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 t + \frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [5])$

解题步骤 11

因为 $- 2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 2 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 t - 2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5])$

解题步骤 12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 t - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [5])$

解题步骤 13

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 t - 2 + \frac{d}{d t} [5])$

解题步骤 14

因为 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $5$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 t - 2 + 0)$

解题步骤 15

化简表达式。

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解题步骤 15.1

将 $8 t - 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 t - 2)$

解题步骤 15.2

重新排序 $\frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 t - 2)$ 的因式。

$(8 t - 2) \frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

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