微积分学示例

$f (t) = \frac{8 t}{8 + \sqrt{t}}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d t} [\frac{8 t}{8 + t^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2

因为 $8$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{8 t}{8 + t^{\frac{1}{2}}}$ 对 $t$ 的导数是 $8 \frac{d}{d t} [\frac{t}{8 + t^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$8 \frac{d}{d t} [\frac{t}{8 + t^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = t$ 且 $g (t) = 8 + t^{\frac{1}{2}}$ 。

$8 \frac{(8 + t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [8 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 \frac{(8 + t^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [8 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 $8 + t^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [8 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $8 + t^{\frac{1}{2}}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ 。

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.4

因为 $8$ 对于 $t$ 是常数，所以 $8$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (0 + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ 相加。

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 8

将负号移到分数的前面。

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{- \frac{1}{2}}$ 。

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 10

组合 $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $t$ 。

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2}} t}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 11

通过指数相加将 $t^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 11.1

将 $t^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 11.1.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2}} t^{1}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 11.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2} + 1}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 11.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 11.3

在公分母上合并分子。

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 11.4

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 12

要将 $t^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 13

组合 $t^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$8 \frac{8 + \frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14

在公分母上合并分子。

$8 \frac{8 + \frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 15

将 $2$ 移到 $t^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$8 \frac{8 + \frac{2 \cdot t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 16

从 $2 t^{\frac{1}{2}}$ 中减去 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$8 \frac{8 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 17

将 $\frac{8 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$8 (\frac{2}{2} \cdot \frac{8 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 18

合并。

$8 \frac{2 (8 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 19

运用分配律。

$8 \frac{2 \cdot 8 + 2 \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 20

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 20.1

约去公因数。

$8 \frac{2 \cdot 8 + 2 \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 20.2

重写表达式。

$8 \frac{2 \cdot 8 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 21

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$8 \frac{16 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 22

组合 $8$ 和 $\frac{16 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 。

$\frac{8 (16 + t^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 23

从 $8 (16 + t^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (4 (16 + t^{\frac{1}{2}}))}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 24

约去公因数。

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解题步骤 24.1

从 $2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (4 (16 + t^{\frac{1}{2}}))}{2 ({(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

解题步骤 24.2

约去公因数。

$\frac{2 (4 (16 + t^{\frac{1}{2}}))}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 24.3

重写表达式。

$\frac{4 (16 + t^{\frac{1}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 25

化简。

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解题步骤 25.1

运用分配律。

$\frac{4 \cdot 16 + 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 25.2

将 $4$ 乘以 $16$ 。

$\frac{64 + 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 25.3

重新排序项。

$\frac{4 t^{\frac{1}{2}} + 64}{{(t^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2}}$

解题步骤 25.4

从 $4 t^{\frac{1}{2}} + 64$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 25.4.1

从 $4 t^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (t^{\frac{1}{2}}) + 64}{{(t^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2}}$

解题步骤 25.4.2

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 t^{\frac{1}{2}} + 4 \cdot 16}{{(t^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2}}$

解题步骤 25.4.3

从 $4 t^{\frac{1}{2}} + 4 \cdot 16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (t^{\frac{1}{2}} + 16)}{{(t^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2}}$

微积分学 示例

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