微积分学示例

$f (x) = {(\frac{1}{2} x)}^{5}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = \frac{1}{2} x$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{1}{2} x$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{1}{2} x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 {(\frac{1}{2} x)}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$5 {(\frac{x}{2})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$5 {(\frac{x}{2})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 2.3

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 {(\frac{x}{2})}^{4} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $5$ 。

$\frac{5}{2} {(\frac{x}{2})}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{5}{2} {(\frac{x}{2})}^{4} \cdot 1$

解题步骤 2.6

将 $\frac{5}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5}{2} {(\frac{x}{2})}^{4}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

对 $\frac{x}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{5}{2} \cdot \frac{x^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 3.2

合并项。

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解题步骤 3.2.1

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{5}{2} \cdot \frac{x^{4}}{16}$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{5}{2}$ 乘以 $\frac{x^{4}}{16}$ 。

$\frac{5 x^{4}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$\frac{5 x^{4}}{32}$

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