微积分学示例

$f (x) = (3 x - 2) (4 x^{2} + 3)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 3 x - 2$ 且 $g (x) = 4 x^{2} + 3$ 。

$(3 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3] + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $4 x^{2} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$(3 x - 2) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

解题步骤 2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(3 x - 2) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(3 x - 2) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

解题步骤 2.4

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$(3 x - 2) (8 x + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

解题步骤 2.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(3 x - 2) (8 x + 0) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $8 x$ 和 $0$ 相加。

$(3 x - 2) (8 x) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

解题步骤 2.6.2

将 $8$ 移到 $3 x - 2$ 的左侧。

$8 \cdot (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

解题步骤 2.7

根据加法法则， $3 x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 2.8

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 2.10

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 2.11

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) (3 + 0)$

解题步骤 2.12

化简表达式。

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解题步骤 2.12.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) \cdot 3$

解题步骤 2.12.2

将 $3$ 移到 $4 x^{2} + 3$ 的左侧。

$8 (3 x - 2) x + 3 \cdot (4 x^{2} + 3)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$(8 (3 x) + 8 \cdot - 2) x + 3 (4 x^{2} + 3)$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$8 (3 x) x + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2} + 3)$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$8 (3 x) x + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

解题步骤 3.4

合并项。

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解题步骤 3.4.1

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$24 x \cdot x + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

解题步骤 3.4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$24 (x^{1} x) + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

解题步骤 3.4.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$24 (x^{1} x^{1}) + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

解题步骤 3.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$24 x^{1 + 1} + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

解题步骤 3.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$24 x^{2} + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

解题步骤 3.4.6

将 $8$ 乘以 $- 2$ 。

$24 x^{2} - 16 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

解题步骤 3.4.7

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$24 x^{2} - 16 x + 12 x^{2} + 3 \cdot 3$

解题步骤 3.4.8

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$24 x^{2} - 16 x + 12 x^{2} + 9$

解题步骤 3.4.9

将 $24 x^{2}$ 和 $12 x^{2}$ 相加。

$36 x^{2} - 16 x + 9$

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