微积分学示例

$f (x) = (4 x^{2} - 3 x + 3) \cdot (4 x^{2} + 6 x - 11)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 4 x^{2} - 3 x + 3$ 且 $g (x) = 4 x^{2} + 6 x - 11$ 。

$(4 x^{2} - 3 x + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 x - 11] + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $4 x^{2} + 6 x - 11$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ 。

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

解题步骤 2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

解题步骤 2.4

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

解题步骤 2.5

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

解题步骤 2.7

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

解题步骤 2.8

因为 $- 11$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 11$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6 + 0) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

解题步骤 2.9

将 $8 x + 6$ 和 $0$ 相加。

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

解题步骤 2.10

根据加法法则， $4 x^{2} - 3 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 2.11

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 2.13

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 2.14

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 2.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 2.16

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3 + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 2.17

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3 + 0)$

解题步骤 2.18

将 $8 x - 3$ 和 $0$ 相加。

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

从 $(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$ 中分解出因数 $1$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6)$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6)) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

解题步骤 3.1.2

从 $(4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6)) + 1 ((4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3))$

解题步骤 3.1.3

从 $1 ((4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6)) + 1 ((4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3))$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3))$

解题步骤 3.2

将 $(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$ 乘以 $1$ 。

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

解题步骤 3.3

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6)$ 。

$4 x^{2} (8 x) + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

解题步骤 3.3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$4 \cdot 8 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

解题步骤 3.3.2.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.2.2.1

移动 $x$ 。

$4 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

解题步骤 3.3.2.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

解题步骤 3.3.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \cdot 8 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

解题步骤 3.3.2.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$4 \cdot 8 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

解题步骤 3.3.2.3

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$32 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

解题步骤 3.3.2.4

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

解题步骤 3.3.2.5

使用乘法的交换性质重写。

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 3 \cdot 8 x \cdot x - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

解题步骤 3.3.2.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.2.6.1

移动 $x$ 。

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 3 \cdot 8 (x \cdot x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

解题步骤 3.3.2.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 3 \cdot 8 x^{2} - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

解题步骤 3.3.2.7

将 $- 3$ 乘以 $8$ 。

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 24 x^{2} - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

解题步骤 3.3.2.8

将 $6$ 乘以 $- 3$ 。

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 24 x^{2} - 18 x + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

解题步骤 3.3.2.9

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 24 x^{2} - 18 x + 24 x + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

解题步骤 3.3.2.10

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 24 x^{2} - 18 x + 24 x + 18 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

解题步骤 3.3.3

合并 $32 x^{3} + 24 x^{2} - 24 x^{2} - 18 x + 24 x + 18$ 中相反的项。

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解题步骤 3.3.3.1

从 $24 x^{2}$ 中减去 $24 x^{2}$ 。

$32 x^{3} + 0 - 18 x + 24 x + 18 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

解题步骤 3.3.3.2

将 $32 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$32 x^{3} - 18 x + 24 x + 18 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

解题步骤 3.3.4

将 $- 18 x$ 和 $24 x$ 相加。

$32 x^{3} + 6 x + 18 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

解题步骤 3.3.5

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$ 。

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 4 x^{2} (8 x) + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

解题步骤 3.3.6

化简每一项。

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解题步骤 3.3.6.1

使用乘法的交换性质重写。

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 4 \cdot 8 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

解题步骤 3.3.6.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.6.2.1

移动 $x$ 。

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 4 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

解题步骤 3.3.6.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.6.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 4 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

解题步骤 3.3.6.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 4 \cdot 8 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

解题步骤 3.3.6.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 4 \cdot 8 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

解题步骤 3.3.6.3

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

解题步骤 3.3.6.4

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

解题步骤 3.3.6.5

使用乘法的交换性质重写。

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 6 \cdot 8 x \cdot x + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

解题步骤 3.3.6.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.6.6.1

移动 $x$ 。

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 6 \cdot 8 (x \cdot x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

解题步骤 3.3.6.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 6 \cdot 8 x^{2} + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

解题步骤 3.3.6.7

将 $6$ 乘以 $8$ 。

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 48 x^{2} + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

解题步骤 3.3.6.8

将 $- 3$ 乘以 $6$ 。

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 48 x^{2} - 18 x - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

解题步骤 3.3.6.9

将 $8$ 乘以 $- 11$ 。

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 48 x^{2} - 18 x - 88 x - 11 \cdot - 3$

解题步骤 3.3.6.10

将 $- 11$ 乘以 $- 3$ 。

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 48 x^{2} - 18 x - 88 x + 33$

解题步骤 3.3.7

将 $- 12 x^{2}$ 和 $48 x^{2}$ 相加。

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} + 36 x^{2} - 18 x - 88 x + 33$

解题步骤 3.3.8

从 $- 18 x$ 中减去 $88 x$ 。

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} + 36 x^{2} - 106 x + 33$

解题步骤 3.4

将 $32 x^{3}$ 和 $32 x^{3}$ 相加。

$64 x^{3} + 6 x + 18 + 36 x^{2} - 106 x + 33$

解题步骤 3.5

从 $6 x$ 中减去 $106 x$ 。

$64 x^{3} - 100 x + 18 + 36 x^{2} + 33$

解题步骤 3.6

将 $18$ 和 $33$ 相加。

$64 x^{3} - 100 x + 36 x^{2} + 51$

微积分学 示例

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