微积分学示例

$f (x) = (4 x - 2) e^{2 x}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 4 x - 2$ 且 $g (x) = e^{2 x}$ 。

$(4 x - 2) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$(4 x - 2) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$(4 x - 2) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

解题步骤 2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(4 x - 2) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(4 x - 2) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(4 x - 2) e^{2 x} (2 \cdot 1) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

解题步骤 3.3

化简表达式。

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解题步骤 3.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$(4 x - 2) e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

解题步骤 3.3.2

将 $2$ 移到 $(4 x - 2) e^{2 x}$ 的左侧。

$2 \cdot ((4 x - 2) e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

解题步骤 3.4

根据加法法则， $4 x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 3.5

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 3.7

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (4 + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 3.8

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (4 + 0)$

解题步骤 3.9

化简表达式。

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解题步骤 3.9.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} \cdot 4$

解题步骤 3.9.2

将 $4$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + 4 \cdot e^{2 x}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$(2 (4 x) + 2 \cdot - 2) e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$2 (4 x) e^{2 x} + 2 \cdot - 2 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

解题步骤 4.3

合并项。

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解题步骤 4.3.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$8 x e^{2 x} + 2 \cdot - 2 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

解题步骤 4.3.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$8 x e^{2 x} - 4 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

解题步骤 4.3.3

将 $- 4 e^{2 x}$ 和 $4 e^{2 x}$ 相加。

$8 x e^{2 x} + 0$

解题步骤 4.3.4

将 $8 x e^{2 x}$ 和 $0$ 相加。

$8 x e^{2 x}$

解题步骤 4.4

重新排序 $8 x e^{2 x}$ 的因式。

$8 e^{2 x} x$

解题步骤 4.5

将 $8 e^{2 x} x$ 中的因式重新排序。

$8 x e^{2 x}$

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