微积分学示例

$f (x) = (6 \sqrt{x} - 2) (5 \sqrt{x} + 7)$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (5 \sqrt{x} + 7)]$

解题步骤 1.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (5 x^{\frac{1}{2}} + 7)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 6 x^{\frac{1}{2}} - 2$ 且 $g (x) = 5 x^{\frac{1}{2}} + 7$ 。

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [5 x^{\frac{1}{2}} + 7] + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $5 x^{\frac{1}{2}} + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

解题步骤 3.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (5 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

解题步骤 8

合并分数。

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解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (5 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (5 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

解题步骤 8.3

组合 $5$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{5 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

解题步骤 8.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [7]) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

解题步骤 9

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

解题步骤 10

将 $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}} - 2]$

解题步骤 11

根据加法法则， $6 x^{\frac{1}{2}} - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 12

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 14

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 15

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 16

在公分母上合并分子。

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 17

化简分子。

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解题步骤 17.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 17.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 18

将负号移到分数的前面。

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 19

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (6 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 20

组合 $6$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (\frac{6 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 21

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (\frac{6}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 22

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (\frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 23

约去公因数。

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解题步骤 23.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (\frac{2 \cdot 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 23.2

约去公因数。

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (\frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 23.3

重写表达式。

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 24

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) (\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

解题步骤 25

将 $\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$(6 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26

化简。

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解题步骤 26.1

运用分配律。

$6 x^{\frac{1}{2}} \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (5 x^{\frac{1}{2}} + 7) \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.2

运用分配律。

$6 x^{\frac{1}{2}} \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.3

合并项。

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解题步骤 26.3.1

组合 $6$ 和 $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{6 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.3.2

将 $6$ 乘以 $5$ 。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{30}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.3.3

组合 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{30}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 30}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.3.4

将 $30$ 移到 $x^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{30 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.3.5

从 $30 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (15 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.3.6

约去公因数。

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解题步骤 26.3.6.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (15 x^{\frac{1}{2}})}{2 (x^{\frac{1}{2}})} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.3.6.2

约去公因数。

$\frac{2 (15 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.3.6.3

重写表达式。

$\frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.3.7

约去公因数。

$\frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.3.8

用 $15$ 除以 $1$ 。

$15 - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.3.9

组合 $- 2$ 和 $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$15 + \frac{- 2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.3.10

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$15 + \frac{- 10}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.3.11

从 $- 10$ 中分解出因数 $2$ 。

$15 + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.3.12

约去公因数。

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解题步骤 26.3.12.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$15 + \frac{2 \cdot - 5}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.3.12.2

约去公因数。

$15 + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.3.12.3

重写表达式。

$15 + \frac{- 5}{x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.3.13

将负号移到分数的前面。

$15 - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.3.14

组合 $5$ 和 $\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$15 - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{5 \cdot 3}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.3.15

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$15 - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{15}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.3.16

组合 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{15}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$15 - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 15}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.3.17

将 $15$ 移到 $x^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$15 - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.3.18

约去公因数。

$15 - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.3.19

用 $15$ 除以 $1$ 。

$15 - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + 15 + 7 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.3.20

组合 $7$ 和 $\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$15 - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + 15 + \frac{7 \cdot 3}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.3.21

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$15 - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + 15 + \frac{21}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.3.22

将 $15$ 和 $15$ 相加。

$30 - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{21}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.3.23

在公分母上合并分子。

$30 + \frac{- 5 + 21}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.3.24

将 $- 5$ 和 $21$ 相加。

$30 + \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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