微积分学示例

$\sum_{k = 3}^{10} 9 - 2 k$

解题步骤 1

分解总和使 $k$ 的初始值等于 $1$ 。

$\sum_{k = 3}^{10} 9 - 2 k = \sum_{k = 1}^{10} 9 - 2 k - \sum_{k = 1}^{2} 9 - 2 k$

解题步骤 2

计算 $\sum_{k = 1}^{10} 9 - 2 k$ 。

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解题步骤 2.1

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{k = 1}^{10} 9 - 2 k = \sum_{k = 1}^{10} 9 - 2 \sum_{k = 1}^{10} k$

解题步骤 2.2

计算 $\sum_{k = 1}^{10} 9$ 。

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解题步骤 2.2.1

常数求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

解题步骤 2.2.2

将值代入公式中。

$(9) (10)$

解题步骤 2.2.3

将 $9$ 乘以 $10$ 。

$90$

解题步骤 2.3

计算 $2 \sum_{k = 1}^{10} k$ 。

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解题步骤 2.3.1

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 2.3.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(- 2) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

化简表达式。

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解题步骤 2.3.3.1.1

将 $10$ 和 $1$ 相加。

$- 2 \frac{10 \cdot 11}{2}$

解题步骤 2.3.3.1.2

将 $10$ 乘以 $11$ 。

$- 2 (\frac{110}{2})$

解题步骤 2.3.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 1) \frac{110}{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2

约去公因数。

$2 \cdot - 1 \frac{110}{2}$

解题步骤 2.3.3.2.3

重写表达式。

$- 1 \cdot 110$

解题步骤 2.3.3.3

将 $- 1$ 乘以 $110$ 。

$- 110$

解题步骤 2.4

将求和的总和相加。

$90 - 110$

解题步骤 2.5

从 $90$ 中减去 $110$ 。

$- 20$

解题步骤 3

计算 $\sum_{k = 1}^{2} 9 - 2 k$ 。

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解题步骤 3.1

展开 $k$ 每个取值的序列。

$9 - 2 \cdot 1 + 9 - 2 \cdot 2$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$9 - 2 + 9 - 2 \cdot 2$

解题步骤 3.2.2

从 $9$ 中减去 $2$ 。

$7 + 9 - 2 \cdot 2$

解题步骤 3.2.3

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$7 + 9 - 4$

解题步骤 3.2.4

从 $9$ 中减去 $4$ 。

$7 + 5$

解题步骤 3.2.5

将 $7$ 和 $5$ 相加。

$12$

解题步骤 4

用求得的值替换总和。

$- 20 - 12$

解题步骤 5

从 $- 20$ 中减去 $12$ 。

$- 32$

微积分学 示例

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