微积分学示例

$y = \frac{3 x^{2} - 9 x + 11}{2 x + 4}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x^{2} - 9 x + 11}{2 x + 4})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 3 x^{2} - 9 x + 11$ 且 $g (x) = 2 x + 4$ 。

$\frac{(2 x + 4) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 9 x + 11] - (3 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $3 x^{2} - 9 x + 11$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]$ 。

$\frac{(2 x + 4) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (3 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(2 x + 4) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (3 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(2 x + 4) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (3 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{(2 x + 4) (6 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (3 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.5

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]) - (3 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]) - (3 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.7

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9 + \frac{d}{d x} [11]) - (3 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.8

因为 $11$ 对于 $x$ 是常数，所以 $11$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9 + 0) - (3 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.9

将 $6 x - 9$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9) - (3 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.10

根据加法法则， $2 x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9) - (3 x^{2} - 9 x + 11) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.11

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9) - (3 x^{2} - 9 x + 11) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9) - (3 x^{2} - 9 x + 11) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.13

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9) - (3 x^{2} - 9 x + 11) (2 + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.14

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9) - (3 x^{2} - 9 x + 11) (2 + 0)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.15

化简表达式。

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解题步骤 3.2.15.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9) - (3 x^{2} - 9 x + 11) \cdot 2}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2.15.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9) - 2 (3 x^{2} - 9 x + 11)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

运用分配律。

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9) - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

化简分子。

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解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(2 x + 4) (6 x - 9)$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1.1

运用分配律。

$\frac{2 x (6 x - 9) + 4 (6 x - 9) - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2

运用分配律。

$\frac{2 x (6 x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (6 x - 9) - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.1.3

运用分配律。

$\frac{2 x (6 x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (6 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 \cdot 6 x \cdot x + 2 x \cdot - 9 + 4 (6 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 \cdot 6 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (6 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 \cdot 6 x^{2} + 2 x \cdot - 9 + 4 (6 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.2.1.3

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{12 x^{2} + 2 x \cdot - 9 + 4 (6 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.2.1.4

将 $- 9$ 乘以 $2$ 。

$\frac{12 x^{2} - 18 x + 4 (6 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.2.1.5

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$\frac{12 x^{2} - 18 x + 24 x + 4 \cdot - 9 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.2.1.6

将 $4$ 乘以 $- 9$ 。

$\frac{12 x^{2} - 18 x + 24 x - 36 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.2.2

将 $- 18 x$ 和 $24 x$ 相加。

$\frac{12 x^{2} + 6 x - 36 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.3

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{12 x^{2} + 6 x - 36 - 6 x^{2} - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.4

将 $- 9$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{12 x^{2} + 6 x - 36 - 6 x^{2} + 18 x - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.5

将 $- 2$ 乘以 $11$ 。

$\frac{12 x^{2} + 6 x - 36 - 6 x^{2} + 18 x - 22}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.2

从 $12 x^{2}$ 中减去 $6 x^{2}$ 。

$\frac{6 x^{2} + 6 x - 36 + 18 x - 22}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.3

将 $6 x$ 和 $18 x$ 相加。

$\frac{6 x^{2} + 24 x - 36 - 22}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.4

从 $- 36$ 中减去 $22$ 。

$\frac{6 x^{2} + 24 x - 58}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

从 $6 x^{2} + 24 x - 58$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

从 $6 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 x^{2}) + 24 x - 58}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.2

从 $24 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (12 x) - 58}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.3

从 $- 58$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (12 x) + 2 (- 29)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.4

从 $2 (3 x^{2}) + 2 (12 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 x^{2} + 12 x) + 2 (- 29)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.5

从 $2 (3 x^{2} + 12 x) + 2 (- 29)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 x^{2} + 12 x - 29)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4

化简分母。

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解题步骤 3.3.4.1

从 $2 x + 4$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.3.4.1.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 x^{2} + 12 x - 29)}{{(2 (x) + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 x^{2} + 12 x - 29)}{{(2 x + 2 \cdot 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.3

从 $2 x + 2 \cdot 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 x^{2} + 12 x - 29)}{{(2 (x + 2))}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.2

对 $2 (x + 2)$ 运用乘积法则。

$\frac{2 (3 x^{2} + 12 x - 29)}{2^{2} {(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2 (3 x^{2} + 12 x - 29)}{4 {(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.5

约去公因数。

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解题步骤 3.3.5.1

从 $4 {(x + 2)}^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 x^{2} + 12 x - 29)}{2 (2 {(x + 2)}^{2})}$

解题步骤 3.3.5.2

约去公因数。

$\frac{2 (3 x^{2} + 12 x - 29)}{2 (2 {(x + 2)}^{2})}$

解题步骤 3.3.5.3

重写表达式。

$\frac{3 x^{2} + 12 x - 29}{2 {(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{3 x^{2} + 12 x - 29}{2 {(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} + 12 x - 29}{2 {(x + 2)}^{2}}$

微积分学 示例

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