微积分学示例

$f (x) = \frac{\log_{7} (x)}{x^{4}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \log_{7} (x)$ 且 $g (x) = x^{4}$ 。

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [\log_{7} (x)] - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 2

将 ${(x^{4})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [\log_{7} (x)] - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

解题步骤 2.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [\log_{7} (x)] - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

解题步骤 3

$\log_{7} (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x \ln (7)}$ 。

$\frac{x^{4} \frac{1}{x \ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

解题步骤 4

化简项。

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解题步骤 4.1

组合 $x^{4}$ 和 $\frac{1}{x \ln (7)}$ 。

$\frac{\frac{x^{4}}{x \ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

解题步骤 4.2

约去 $x^{4}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\frac{x \cdot x^{3}}{x \ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

从 $x \ln (7)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\frac{x \cdot x^{3}}{x (\ln (7))} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

解题步骤 4.2.2.2

约去公因数。

$\frac{\frac{x \cdot x^{3}}{x \ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

解题步骤 4.2.2.3

重写表达式。

$\frac{\frac{x^{3}}{\ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

解题步骤 5

将 $\frac{\frac{x^{3}}{\ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$ 乘以 $\frac{\ln (7)}{\ln (7)}$ 。

$\frac{\ln (7)}{\ln (7)} \cdot \frac{\frac{x^{3}}{\ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

解题步骤 6

化简项。

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解题步骤 6.1

合并。

$\frac{\ln (7) (\frac{x^{3}}{\ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])}{\ln (7) x^{8}}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\frac{\ln (7) \frac{x^{3}}{\ln (7)} + \ln (7) (- \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])}{\ln (7) x^{8}}$

解题步骤 6.3

约去 $\ln (7)$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

约去公因数。

$\frac{\ln (7) \frac{x^{3}}{\ln (7)} + \ln (7) (- \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])}{\ln (7) x^{8}}$

解题步骤 6.3.2

重写表达式。

$\frac{x^{3} + \ln (7) (- \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])}{\ln (7) x^{8}}$

解题步骤 7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{x^{3} + \ln (7) (- \log_{7} (x) (4 x^{3}))}{\ln (7) x^{8}}$

解题步骤 8

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{3} + \ln (7) (- 4 \log_{7} (x) x^{3})}{\ln (7) x^{8}}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 4 \log_{7} (x)$ 。

$\frac{x^{3} + \ln (7) (- \log_{7} (x^{4}) x^{3})}{\ln (7) x^{8}}$

解题步骤 9.1.2

将 $x^{3} + \ln (7) (- \log_{7} (x^{4}) x^{3})$ 中的因式重新排序。

$\frac{x^{3} - x^{3} \ln (7) \log_{7} (x^{4})}{\ln (7) x^{8}}$

解题步骤 9.2

重新排序项。

$\frac{x^{3} - x^{3} \ln (7) \log_{7} (x^{4})}{x^{8} \ln (7)}$

解题步骤 9.3

从 $x^{3} - x^{3} \ln (7) \log_{7} (x^{4})$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

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解题步骤 9.3.1

乘以 $1$ 。

$\frac{x^{3} \cdot 1 - x^{3} \ln (7) \log_{7} (x^{4})}{x^{8} \ln (7)}$

解题步骤 9.3.2

从 $- x^{3} \ln (7) \log_{7} (x^{4})$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\frac{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- \ln (7) \log_{7} (x^{4}))}{x^{8} \ln (7)}$

解题步骤 9.3.3

从 $x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- \ln (7) \log_{7} (x^{4}))$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\frac{x^{3} (1 - \ln (7) \log_{7} (x^{4}))}{x^{8} \ln (7)}$

解题步骤 9.4

通过将 $4$ 移到对数外来展开 $\log_{7} (x^{4})$ 。

$\frac{x^{3} (1 - \ln (7) (4 \log_{7} (x)))}{x^{8} \ln (7)}$

解题步骤 9.5

约去公因数。

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解题步骤 9.5.1

从 $x^{8} \ln (7)$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\frac{x^{3} (1 - \ln (7) (4 \log_{7} (x)))}{x^{3} (x^{5} \ln (7))}$

解题步骤 9.5.2

约去公因数。

$\frac{x^{3} (1 - \ln (7) (4 \log_{7} (x)))}{x^{3} (x^{5} \ln (7))}$

解题步骤 9.5.3

重写表达式。

$\frac{1 - \ln (7) (4 \log_{7} (x))}{x^{5} \ln (7)}$

解题步骤 9.6

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1 - 4 \ln (7) \log_{7} (x)}{x^{5} \ln (7)}$

微积分学 示例

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