微积分学示例

$f (x) = \frac{e^{x}}{\sin (x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{\sin (x) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{\sin (x) e^{x} - e^{x} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $\sin (x) e^{x} - e^{x} \cos (x)$ 中的因式重新排序。

$\frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.2

从 $e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 4.2.1

从 $e^{x} \sin (x)$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (\sin (x)) - e^{x} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.2.2

从 $- e^{x} \cos (x)$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (\sin (x)) + e^{x} (- \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.2.3

从 $e^{x} (\sin (x)) + e^{x} (- \cos (x))$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (\sin (x) - \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

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