微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2} - 9 x + 39}{x - 7}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 9 x + 39$ 且 $g (x) = x - 7$ 。

$\frac{(x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9 x + 39] - (x^{2} - 9 x + 39) \frac{d}{d x} [x - 7]}{{(x - 7)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} - 9 x + 39$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [39]$ 。

$\frac{(x - 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [39]) - (x^{2} - 9 x + 39) \frac{d}{d x} [x - 7]}{{(x - 7)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x - 7) (2 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [39]) - (x^{2} - 9 x + 39) \frac{d}{d x} [x - 7]}{{(x - 7)}^{2}}$

解题步骤 2.3

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(x - 7) (2 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [39]) - (x^{2} - 9 x + 39) \frac{d}{d x} [x - 7]}{{(x - 7)}^{2}}$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - 7) (2 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [39]) - (x^{2} - 9 x + 39) \frac{d}{d x} [x - 7]}{{(x - 7)}^{2}}$

解题步骤 2.5

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x - 7) (2 x - 9 + \frac{d}{d x} [39]) - (x^{2} - 9 x + 39) \frac{d}{d x} [x - 7]}{{(x - 7)}^{2}}$

解题步骤 2.6

因为 $39$ 对于 $x$ 是常数，所以 $39$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 7) (2 x - 9 + 0) - (x^{2} - 9 x + 39) \frac{d}{d x} [x - 7]}{{(x - 7)}^{2}}$

解题步骤 2.7

将 $2 x - 9$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 7) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x + 39) \frac{d}{d x} [x - 7]}{{(x - 7)}^{2}}$

解题步骤 2.8

根据加法法则， $x - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$\frac{(x - 7) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x + 39) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])}{{(x - 7)}^{2}}$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - 7) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x + 39) (1 + \frac{d}{d x} [- 7])}{{(x - 7)}^{2}}$

解题步骤 2.10

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 7) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x + 39) (1 + 0)}{{(x - 7)}^{2}}$

解题步骤 2.11

化简表达式。

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解题步骤 2.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 7) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x + 39) \cdot 1}{{(x - 7)}^{2}}$

解题步骤 2.11.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x - 7) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x + 39)}{{(x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{(x - 7) (2 x - 9) - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.2

化简分子。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x - 7) (2 x - 9)$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

运用分配律。

$\frac{x (2 x - 9) - 7 (2 x - 9) - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.1.2

运用分配律。

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 9 - 7 (2 x - 9) - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.1.3

运用分配律。

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 9 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 9 - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 9 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 9 - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 9 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 9 - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 9 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 9 - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.1.3

将 $- 9$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{2 x^{2} - 9 \cdot x - 7 (2 x) - 7 \cdot - 9 - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.1.4

将 $2$ 乘以 $- 7$ 。

$\frac{2 x^{2} - 9 x - 14 x - 7 \cdot - 9 - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.1.5

将 $- 7$ 乘以 $- 9$ 。

$\frac{2 x^{2} - 9 x - 14 x + 63 - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.2

从 $- 9 x$ 中减去 $14 x$ 。

$\frac{2 x^{2} - 23 x + 63 - x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3

将 $- 9$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{2} - 23 x + 63 - x^{2} + 9 x - 1 \cdot 39}{{(x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $39$ 。

$\frac{2 x^{2} - 23 x + 63 - x^{2} + 9 x - 39}{{(x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - 23 x + 63 + 9 x - 39}{{(x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

将 $- 23 x$ 和 $9 x$ 相加。

$\frac{x^{2} - 14 x + 63 - 39}{{(x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.2.4

从 $63$ 中减去 $39$ 。

$\frac{x^{2} - 14 x + 24}{{(x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.3

使用 AC 法来对 $x^{2} - 14 x + 24$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $24$ ，和为 $- 14$ 。

$- 12, - 2$

解题步骤 3.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x - 12) (x - 2)}{{(x - 7)}^{2}}$

微积分学 示例

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