微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2} + 7}{16 - x^{2}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 7$ 且 $g (x) = 16 - x^{2}$ 。

$\frac{(16 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7] - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$\frac{(16 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]) - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(16 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [7]) - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(16 - x^{2}) (2 x + 0) - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(16 - x^{2}) (2 x) - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 移到 $16 - x^{2}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (16 - x^{2}) x - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.5

根据加法法则， $16 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{2 (16 - x^{2}) x - (x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.6

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (16 - x^{2}) x - (x^{2} + 7) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.7

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$\frac{2 (16 - x^{2}) x - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.8

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{2 (16 - x^{2}) x - (x^{2} + 7) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9

乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (16 - x^{2}) x + 1 (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.2

将 $x^{2} + 7$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (16 - x^{2}) x + (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2 (16 - x^{2}) x + (x^{2} + 7) (2 x)}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.11

将 $2$ 移到 $x^{2} + 7$ 的左侧。

$\frac{2 (16 - x^{2}) x + 2 \cdot (x^{2} + 7) x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{(2 \cdot 16 + 2 (- x^{2})) x + 2 (x^{2} + 7) x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{2 \cdot 16 x + 2 (- x^{2}) x + 2 (x^{2} + 7) x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\frac{2 \cdot 16 x + 2 (- x^{2}) x + (2 x^{2} + 2 \cdot 7) x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$\frac{2 \cdot 16 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1.1

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$\frac{32 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{32 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{32 x + 2 (- (x^{1} x^{2})) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{32 x + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{32 x + 2 (- x^{3}) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.5

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 14 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.2

合并 $32 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 14 x$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.2.1

将 $- 2 x^{3}$ 和 $2 x^{3}$ 相加。

$\frac{32 x + 0 + 14 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.2.2

将 $32 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{32 x + 14 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.3

将 $32 x$ 和 $14 x$ 相加。

$\frac{46 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.6

重新排序项。

$\frac{46 x}{{(- x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 3.7

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{46 x}{{(- x^{2} + 4^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.2

将 $- x^{2}$ 和 $4^{2}$ 重新排序。

$\frac{46 x}{{(4^{2} - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 4$ 和 $b = x$ 。

$\frac{46 x}{{((4 + x) (4 - x))}^{2}}$

解题步骤 3.7.4

对 $(4 + x) (4 - x)$ 运用乘积法则。

$\frac{46 x}{{(4 + x)}^{2} {(4 - x)}^{2}}$

微积分学 示例

微积分学示例