微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{\cos (x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 1$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\cos (x) (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\cos (x) (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 2.4

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\cos (x) (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{\cos (x) (2 x) - (x^{2} + 1) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4

乘。

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解题步骤 4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\cos (x) (2 x) + 1 (x^{2} + 1) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.2

将 $x^{2} + 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos (x) (2 x) + (x^{2} + 1) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{\cos (x) (2 x) + x^{2} \sin (x) + 1 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 5.2

化简分子。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 \cos (x) x + x^{2} \sin (x) + 1 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 \cos (x) x + x^{2} \sin (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 5.2.2

将 $2 \cos (x) x + x^{2} \sin (x) + \sin (x)$ 中的因式重新排序。

$\frac{2 x \cos (x) + x^{2} \sin (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

微积分学 示例

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