微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 5 x^{2} + 1$

解题步骤 1

根据加法法则， $\frac{1}{3} x^{3} - 5 x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{3} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.4

组合 $\frac{3}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.5.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{2} - 10 x + 0$

解题步骤 4.2

将 $x^{2} - 10 x$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} - 10 x$

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