微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} - \frac{4}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1

根据加法法则， $\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} - \frac{4}{\sqrt{x}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 重写为 ${(x^{3})}^{- 1}$ 。

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{3}$ 。

$- x^{- 2} + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- x^{- 2} - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 3.2.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- x^{- 2} - {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- x^{- 2} - {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 3.4

将 ${(x^{3})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- x^{- 2} - x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 3.4.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$- x^{- 2} - x^{- 6} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 3.5

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 6} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 3.6

通过指数相加将 $x^{- 6}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.1

移动 $x^{2}$ 。

$- x^{- 2} - 3 (x^{2} x^{- 6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 3.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- x^{- 2} - 3 x^{2 - 6} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 3.6.3

从 $2$ 中减去 $6$ 。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$ 。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 4.2

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 4.3

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 4.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.4.3

使用 $x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 4.6

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 4.6.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 4.6.2.2

约去公因数。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 4.6.2.3

重写表达式。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 4.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

解题步骤 4.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 4.9

在公分母上合并分子。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 4.10

化简分子。

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解题步骤 4.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

解题步骤 4.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

解题步骤 4.11

将负号移到分数的前面。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

解题步骤 4.12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 4.13

组合 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x^{- 1}$ 。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

解题步骤 4.14

通过指数相加将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{- 1}$ 。

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解题步骤 4.14.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

解题步骤 4.14.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

解题步骤 4.14.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

解题步骤 4.14.4

在公分母上合并分子。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

解题步骤 4.14.5

化简分子。

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解题步骤 4.14.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

解题步骤 4.14.5.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

解题步骤 4.14.6

将负号移到分数的前面。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

解题步骤 4.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 4.16

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} + 4 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.17

组合 $4$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ 。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} + \frac{4}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.18

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.19

约去公因数。

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解题步骤 4.19.1

从 $2 x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} + \frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 4.19.2

约去公因数。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.19.3

重写表达式。

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} + \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{x^{2}} - 3 x^{- 4} + \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{x^{2}} - 3 \frac{1}{x^{4}} + \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 7

合并项。

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解题步骤 7.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{4}} + \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 7.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}} + \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

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