微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{4 x^{2} + 4}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{4 x^{2} + 4}$ 重写为 ${(4 x^{2} + 4)}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(4 x^{2} + 4)}^{- 1}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = 4 x^{2} + 4$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x^{2} + 4$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]$

解题步骤 2.3

使用 $4 x^{2} + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $4 x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 3.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 3.4

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (8 x + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 3.5

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (8 x + 0)$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $8 x$ 和 $0$ 相加。

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (8 x)$

解题步骤 3.6.2

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$- 8 {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 8 \frac{1}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}} x$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$ 。

$\frac{- 8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}} x$

解题步骤 4.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}} x$

解题步骤 4.2.3

组合 $x$ 和 $\frac{8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$ 。

$- \frac{x \cdot 8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 4.2.4

将 $8$ 移到 $x$ 的左侧。

$- \frac{8 x}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 4.3

化简分母。

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解题步骤 4.3.1

从 $4 x^{2} + 4$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 4.3.1.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{8 x}{{(4 (x^{2}) + 4)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.2

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{8 x}{{(4 (x^{2}) + 4 (1))}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.3

从 $4 (x^{2}) + 4 (1)$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{8 x}{{(4 (x^{2} + 1))}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

对 $4 (x^{2} + 1)$ 运用乘积法则。

$- \frac{8 x}{4^{2} {(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.3

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{8 x}{16 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4

约去 $8$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

从 $8 x$ 中分解出因数 $8$ 。

$- \frac{8 (x)}{16 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.4.2.1

从 $16 {(x^{2} + 1)}^{2}$ 中分解出因数 $8$ 。

$- \frac{8 (x)}{8 (2 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

解题步骤 4.4.2.2

约去公因数。

$- \frac{8 x}{8 (2 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

解题步骤 4.4.2.3

重写表达式。

$- \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

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