微积分学示例

$f (x) = \frac{2 e^{x} - 1}{2 e^{x} + 1}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 2 e^{x} - 1$ 且 $g (x) = 2 e^{x} + 1$ 。

$\frac{(2 e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} - 1] - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 e^{x} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{(2 e^{x} + 1) (\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{(2 e^{x} + 1) (2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{(2 e^{x} + 1) (2 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(2 e^{x} + 1) (2 e^{x} + 0) - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.1

将 $2 e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(2 e^{x} + 1) (2 e^{x}) - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

将 $2$ 移到 $2 e^{x} + 1$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (2 e^{x} + 1) e^{x} - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3

根据加法法则， $2 e^{x} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{2 (2 e^{x} + 1) e^{x} - (2 e^{x} - 1) (\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{2 (2 e^{x} + 1) e^{x} - (2 e^{x} - 1) (2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{2 (2 e^{x} + 1) e^{x} - (2 e^{x} - 1) (2 e^{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6

使用常数法则求导。

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解题步骤 6.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (2 e^{x} + 1) e^{x} - (2 e^{x} - 1) (2 e^{x} + 0)}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2

化简表达式。

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解题步骤 6.2.1

将 $2 e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (2 e^{x} + 1) e^{x} - (2 e^{x} - 1) (2 e^{x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 (2 e^{x} - 1) e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{(2 (2 e^{x}) + 2 \cdot 1) e^{x} - 2 (2 e^{x} - 1) e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$\frac{2 (2 e^{x}) e^{x} + 2 \cdot 1 e^{x} - 2 (2 e^{x} - 1) e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.3

运用分配律。

$\frac{2 (2 e^{x}) e^{x} + 2 \cdot 1 e^{x} + (- 2 (2 e^{x}) - 2 \cdot - 1) e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.4

运用分配律。

$\frac{2 (2 e^{x}) e^{x} + 2 \cdot 1 e^{x} - 2 (2 e^{x}) e^{x} - 2 \cdot - 1 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.5

化简分子。

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解题步骤 7.5.1

合并 $2 (2 e^{x}) e^{x} + 2 \cdot 1 e^{x} - 2 (2 e^{x}) e^{x} - 2 \cdot - 1 e^{x}$ 中相反的项。

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解题步骤 7.5.1.1

从 $2 (2 e^{x}) e^{x}$ 中减去 $2 (2 e^{x}) e^{x}$ 。

$\frac{2 \cdot 1 e^{x} + 0 - 2 \cdot - 1 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.5.1.2

将 $2 \cdot 1 e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 \cdot 1 e^{x} - 2 \cdot - 1 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.5.2

化简每一项。

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解题步骤 7.5.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 e^{x} - 2 \cdot - 1 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.5.2.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 e^{x} + 2 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.5.3

将 $2 e^{x}$ 和 $2 e^{x}$ 相加。

$\frac{4 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

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