微积分学示例

$f (x) = \cos^{2} (7 x + 2)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (7 x + 2)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos (7 x + 2)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (7 x + 2)]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (7 x + 2)]$

解题步骤 1.3

使用 $\cos (7 x + 2)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 \cos (7 x + 2) \frac{d}{d x} [\cos (7 x + 2)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 7 x + 2$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $7 x + 2$ 。

$2 \cos (7 x + 2) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x + 2])$

解题步骤 2.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$2 \cos (7 x + 2) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x + 2])$

解题步骤 2.3

使用 $7 x + 2$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 \cos (7 x + 2) (- \sin (7 x + 2) \frac{d}{d x} [7 x + 2])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \cos (7 x + 2) (\sin (7 x + 2) \frac{d}{d x} [7 x + 2])$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $7 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$- 2 \cos (7 x + 2) \sin (7 x + 2) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 3.3

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 \cos (7 x + 2) \sin (7 x + 2) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \cos (7 x + 2) \sin (7 x + 2) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 3.5

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$- 2 \cos (7 x + 2) \sin (7 x + 2) (7 + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 3.6

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 2 \cos (7 x + 2) \sin (7 x + 2) (7 + 0)$

解题步骤 3.7

化简表达式。

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解题步骤 3.7.1

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$- 2 \cos (7 x + 2) \sin (7 x + 2) \cdot 7$

解题步骤 3.7.2

将 $7$ 乘以 $- 2$ 。

$- 14 \cos (7 x + 2) \sin (7 x + 2)$

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