微积分学示例

$f (x) = \frac{\cos (x)}{x^{5}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = x^{5}$ 。

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 2

将 ${(x^{5})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

解题步骤 2.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{x^{5} (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{x^{5} (- \sin (x)) - \cos (x) (5 x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 4.2

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{5} (- \sin (x)) - 5 \cos (x) x^{4}}{x^{10}}$

解题步骤 4.2.2

从 $x^{5} (- \sin (x)) - 5 \cos (x) x^{4}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

从 $x^{5} (- \sin (x))$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$\frac{x^{4} (x (- \sin (x))) - 5 \cos (x) x^{4}}{x^{10}}$

解题步骤 4.2.2.2

从 $- 5 \cos (x) x^{4}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$\frac{x^{4} (x (- \sin (x))) + x^{4} (- 5 \cos (x))}{x^{10}}$

解题步骤 4.2.2.3

从 $x^{4} (x (- \sin (x))) + x^{4} (- 5 \cos (x))$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$\frac{x^{4} (x (- \sin (x)) - 5 \cos (x))}{x^{10}}$

解题步骤 5

约去公因数。

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解题步骤 5.1

从 $x^{10}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$\frac{x^{4} (x (- \sin (x)) - 5 \cos (x))}{x^{4} x^{6}}$

解题步骤 5.2

约去公因数。

$\frac{x^{4} (x (- \sin (x)) - 5 \cos (x))}{x^{4} x^{6}}$

解题步骤 5.3

重写表达式。

$\frac{x (- \sin (x)) - 5 \cos (x)}{x^{6}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- x \sin (x) - 5 \cos (x)}{x^{6}}$

解题步骤 6.2

从 $- x \sin (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x \sin (x)) - 5 \cos (x)}{x^{6}}$

解题步骤 6.3

从 $- 5 \cos (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x \sin (x)) - (5 \cos (x))}{x^{6}}$

解题步骤 6.4

从 $- (x \sin (x)) - (5 \cos (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x \sin (x) + 5 \cos (x))}{x^{6}}$

解题步骤 6.5

将 $- (x \sin (x) + 5 \cos (x))$ 重写为 $- 1 (x \sin (x) + 5 \cos (x))$ 。

$\frac{- 1 (x \sin (x) + 5 \cos (x))}{x^{6}}$

解题步骤 6.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x \sin (x) + 5 \cos (x)}{x^{6}}$

微积分学 示例

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