微积分学示例

$f (x) = e^{\cos^{5} (x)}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \cos^{5} (x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos^{5} (x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\cos^{5} (x)]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos^{5} (x)]$

解题步骤 1.3

使用 $\cos^{5} (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{\cos^{5} (x)} \frac{d}{d x} [\cos^{5} (x)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\cos (x)$ 。

$e^{\cos^{5} (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$e^{\cos^{5} (x)} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 2.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{\cos^{5} (x)} (5 \cos^{4} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 3

将 $5$ 移到 $e^{\cos^{5} (x)}$ 的左侧。

$5 \cdot e^{\cos^{5} (x)} \cos^{4} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$5 e^{\cos^{5} (x)} \cos^{4} (x) (- \sin (x))$

解题步骤 5

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$- 5 e^{\cos^{5} (x)} \cos^{4} (x) \sin (x)$

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