微积分学示例

$f (x) = e^{- \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- \frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 1.3

使用 $- \frac{1}{x^{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 。

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.4

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0)$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 乘以 $0$ 。

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (2 x^{- 3} + 0)$

解题步骤 3.6.2

将 $2 x^{- 3}$ 和 $0$ 相加。

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (2 x^{- 3})$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (2 \frac{1}{x^{3}})$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} \frac{2}{x^{3}}$

解题步骤 4.2.2

组合 $e^{- \frac{1}{x^{2}}}$ 和 $\frac{2}{x^{3}}$ 。

$\frac{e^{- \frac{1}{x^{2}}} \cdot 2}{x^{3}}$

解题步骤 4.2.3

将 $2$ 移到 $e^{- \frac{1}{x^{2}}}$ 的左侧。

$\frac{2 e^{- \frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}}$

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