微积分学示例

${(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$

解题步骤 1

将 ${(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$ 书写为一个函数。

$f (x) = {(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

将 ${(x + 1)}^{2}$ 重写为 $(x + 1) (x + 1)$ 。

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 1) (2 x - x^{2})]$

解题步骤 2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x + 1)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(x (x + 1) + 1 (x + 1)) (2 x - x^{2})]$

解题步骤 2.1.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) (2 x - x^{2})]$

解题步骤 2.1.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (2 x - x^{2})]$

解题步骤 2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (2 x - x^{2})]$

解题步骤 2.1.3.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) (2 x - x^{2})]$

解题步骤 2.1.3.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) (2 x - x^{2})]$

解题步骤 2.1.3.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + x + 1) (2 x - x^{2})]$

解题步骤 2.1.3.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) (2 x - x^{2})]$

解题步骤 2.1.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 2 x + 1$ 且 $g (x) = 2 x - x^{2}$ 。

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}] + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

解题步骤 2.1.5

求微分。

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解题步骤 2.1.5.1

根据加法法则， $2 x - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$(x^{2} + 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

解题步骤 2.1.5.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

解题步骤 2.1.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

解题步骤 2.1.5.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

解题步骤 2.1.5.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

解题步骤 2.1.5.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - (2 x)) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

解题步骤 2.1.5.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

解题步骤 2.1.5.8

根据加法法则， $x^{2} + 2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.1.5.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.1.5.10

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.1.5.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.1.5.12

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.1.5.13

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2 + 0)$

解题步骤 2.1.5.14

将 $2 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$

解题步骤 2.1.6

化简。

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解题步骤 2.1.6.1

从 $(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$ 中分解出因数 $1$ 。

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解题步骤 2.1.6.1.1

从 $(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x)$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x)) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$

解题步骤 2.1.6.1.2

从 $(2 x - x^{2}) (2 x + 2)$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x)) + 1 ((2 x - x^{2}) (2 x + 2))$

解题步骤 2.1.6.1.3

从 $1 ((x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x)) + 1 ((2 x - x^{2}) (2 x + 2))$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2))$

解题步骤 2.1.6.2

将 $(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$ 乘以 $1$ 。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$

解题步骤 2.1.6.3

重新排序项。

$(2 - 2 x) (x^{2} + 2 x + 1) + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

解题步骤 2.1.6.4

化简每一项。

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解题步骤 2.1.6.4.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(2 - 2 x) (x^{2} + 2 x + 1)$ 。

$2 x^{2} + 2 (2 x) + 2 \cdot 1 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

解题步骤 2.1.6.4.2

化简每一项。

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解题步骤 2.1.6.4.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 x^{2} + 4 x + 2 \cdot 1 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

解题步骤 2.1.6.4.2.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

解题步骤 2.1.6.4.2.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.6.4.2.3.1

移动 $x^{2}$ 。

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 (x^{2} x) - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

解题步骤 2.1.6.4.2.3.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.6.4.2.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

解题步骤 2.1.6.4.2.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{2 + 1} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

解题步骤 2.1.6.4.2.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

解题步骤 2.1.6.4.2.4

使用乘法的交换性质重写。

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 \cdot 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

解题步骤 2.1.6.4.2.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.6.4.2.5.1

移动 $x$ 。

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 \cdot 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

解题步骤 2.1.6.4.2.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 \cdot 2 x^{2} - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

解题步骤 2.1.6.4.2.6

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

解题步骤 2.1.6.4.2.7

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

解题步骤 2.1.6.4.3

从 $2 x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$- 2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 x + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

解题步骤 2.1.6.4.4

从 $4 x$ 中减去 $2 x$ 。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

解题步骤 2.1.6.4.5

使用 FOIL 方法展开 $(2 x + 2) (2 x - x^{2})$ 。

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解题步骤 2.1.6.4.5.1

运用分配律。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x (2 x - x^{2}) + 2 (2 x - x^{2})$

解题步骤 2.1.6.4.5.2

运用分配律。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x (2 x) + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x - x^{2})$

解题步骤 2.1.6.4.5.3

运用分配律。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x (2 x) + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

解题步骤 2.1.6.4.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.6.4.6.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.6.4.6.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

解题步骤 2.1.6.4.6.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.6.4.6.1.2.1

移动 $x$ 。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

解题步骤 2.1.6.4.6.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

解题步骤 2.1.6.4.6.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

解题步骤 2.1.6.4.6.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

解题步骤 2.1.6.4.6.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.6.4.6.1.5.1

移动 $x^{2}$ 。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

解题步骤 2.1.6.4.6.1.5.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.6.4.6.1.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

解题步骤 2.1.6.4.6.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

解题步骤 2.1.6.4.6.1.5.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{3} + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

解题步骤 2.1.6.4.6.1.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x^{3} + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

解题步骤 2.1.6.4.6.1.7

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x + 2 (- x^{2})$

解题步骤 2.1.6.4.6.1.8

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x - 2 x^{2}$

解题步骤 2.1.6.4.6.2

从 $4 x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x$

解题步骤 2.1.6.5

合并 $- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x$ 中相反的项。

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解题步骤 2.1.6.5.1

将 $- 2 x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$2 x + 2 - 2 x^{3} + 0 - 2 x^{3} + 4 x$

解题步骤 2.1.6.5.2

将 $2 x + 2 - 2 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$2 x + 2 - 2 x^{3} - 2 x^{3} + 4 x$

解题步骤 2.1.6.6

将 $2 x$ 和 $4 x$ 相加。

$2 - 2 x^{3} - 2 x^{3} + 6 x$

解题步骤 2.1.6.7

从 $- 2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$f' (x) = 2 - 4 x^{3} + 6 x$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

求微分。

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解题步骤 2.2.1.1

根据加法法则， $2 - 4 x^{3} + 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 2.2.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$0 - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 2.2.2.3

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$0 - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 2.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [6 x]$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - 12 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 12 x^{2} + 6 \cdot 1$

解题步骤 2.2.3.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$0 - 12 x^{2} + 6$

解题步骤 2.2.4

从 $0$ 中减去 $12 x^{2}$ 。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- 12 x^{2} + 6$ 。

$- 12 x^{2} + 6$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 12 x^{2} + 6 = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- 12 x^{2} + 6 = 0$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $6$ 。

$- 12 x^{2} = - 6$

解题步骤 3.3

将 $- 12 x^{2} = - 6$ 中的每一项除以 $- 12$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $- 12 x^{2} = - 6$ 中的每一项都除以 $- 12$ 。

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 6}{- 12}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $- 12$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 6}{- 12}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 6}{- 12}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

约去 $- 6$ 和 $- 12$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.1.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $- 6$ 。

$x^{2} = \frac{- 6 (1)}{- 12}$

解题步骤 3.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.3.1.2.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $- 6$ 。

$x^{2} = \frac{- 6 \cdot 1}{- 6 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.3.1.2.2

约去公因数。

$x^{2} = \frac{- 6 \cdot 1}{- 6 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.3.1.2.3

重写表达式。

$x^{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 3.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

解题步骤 3.5

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.5.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.5.3

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.5.4

合并和化简分母。

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解题步骤 3.5.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.5.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.5.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 3.5.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.5.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 3.5.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.5.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.5.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.5.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.5.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.4.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.5.4.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 3.5.4.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 代入 $f (x) = {(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = {((\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1)}^{2} (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

将 ${(\frac{\sqrt{2}}{2} + 1)}^{2}$ 重写为 $(\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.1.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.1

运用分配律。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1)) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.1.2.2.2

运用分配律。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1)) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.1.2.2.3

运用分配律。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.1.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.3.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 4.1.2.3.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.1.2.3.1.1.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.1.2.3.1.1.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.1.2.3.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.1.2.3.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.1.2.3.1.1.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.1.2.3.1.2

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 4.1.2.3.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.1.2.3.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.1.2.3.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.1.2.3.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.3.1.2.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.1.2.3.1.2.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.1.2.3.1.2.5

计算指数。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.1.2.3.1.3

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.3.1.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2 (1)}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.1.2.3.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.2.3.1.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.1.2.3.1.3.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.1.2.3.1.3.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.1.2.3.1.4

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.1.2.3.1.5

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.1.2.3.1.6

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.1.2.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} + \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.1.2.3.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1 + 2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.1.2.3.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.1.2.3.5

在公分母上合并分子。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.1.2.4

化简项。

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解题步骤 4.1.2.4.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} \cdot (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.1.2.4.2

将 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 相加。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.1.2.5

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.5.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.5.1.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.1.2.5.1.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.1.2.5.2

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})$

解题步骤 4.1.2.5.3

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 4.1.2.5.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

解题步骤 4.1.2.5.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

解题步骤 4.1.2.5.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

解题步骤 4.1.2.5.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.5.3.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

解题步骤 4.1.2.5.3.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2}{2^{2}})$

解题步骤 4.1.2.5.3.5

计算指数。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2}{2^{2}})$

解题步骤 4.1.2.5.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2}{4})$

解题步骤 4.1.2.5.5

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.5.5.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2 (1)}{4})$

解题步骤 4.1.2.5.5.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.2.5.5.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

解题步骤 4.1.2.5.5.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

解题步骤 4.1.2.5.5.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{1}{2})$

解题步骤 4.1.2.6

化简项。

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解题步骤 4.1.2.6.1

运用分配律。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} + \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.1.2.6.2

组合 $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(3 + 2 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} + \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.1.2.7

乘以 $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} (- \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 4.1.2.7.1

将 $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(3 + 2 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.2.7.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(3 + 2 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4.1.2.8

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.8.1

运用分配律。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4.1.2.8.2

乘以 $2 \sqrt{2} \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 4.1.2.8.2.1

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4.1.2.8.2.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4.1.2.8.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4.1.2.8.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 {\sqrt{2}}^{2}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4.1.2.8.3

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.8.3.1

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 4.1.2.8.3.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4.1.2.8.3.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4.1.2.8.3.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4.1.2.8.3.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.8.3.1.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4.1.2.8.3.1.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 \cdot 2}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4.1.2.8.3.1.5

计算指数。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 \cdot 2}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4.1.2.8.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 4}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4.1.2.9

要将 $\frac{3 \sqrt{2} + 4}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 4}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4.1.2.10

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 4.1.2.10.1

将 $\frac{3 \sqrt{2} + 4}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(3 \sqrt{2} + 4) \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4.1.2.10.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(3 \sqrt{2} + 4) \cdot 2}{4} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4.1.2.11

在公分母上合并分子。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(3 \sqrt{2} + 4) \cdot 2 - (3 + 2 \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 4.1.2.12

化简分子。

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解题步骤 4.1.2.12.1

运用分配律。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} \cdot 2 + 4 \cdot 2 - (3 + 2 \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 4.1.2.12.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{6 \sqrt{2} + 4 \cdot 2 - (3 + 2 \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 4.1.2.12.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{6 \sqrt{2} + 8 - (3 + 2 \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 4.1.2.12.4

运用分配律。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{6 \sqrt{2} + 8 - 1 \cdot 3 - (2 \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 4.1.2.12.5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{6 \sqrt{2} + 8 - 3 - (2 \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 4.1.2.12.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{6 \sqrt{2} + 8 - 3 - 2 \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4.1.2.12.7

从 $6 \sqrt{2}$ 中减去 $2 \sqrt{2}$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{8 - 3 + 4 \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4.1.2.12.8

从 $8$ 中减去 $3$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4.1.2.13

最终答案为 $\frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4}$ 。

$\frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4.2

通过将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 代入 $f (x) = {(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$ 中求得的点为 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4})$

解题步骤 4.3

将 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 代入 $f (x) = {(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = {((- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1)}^{2} (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

将 ${(- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)}^{2}$ 重写为 $(- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$ 。

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解题步骤 4.3.2.2.1

运用分配律。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.2.2

运用分配律。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.2.3

运用分配律。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.3.1.1

乘以 $- \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 。

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解题步骤 4.3.2.3.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.1.2

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.1.3

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.1.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.1.5

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.1.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.1.8

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.2

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 4.3.2.3.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.3.1.2.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.2.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.2.5

计算指数。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.3

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.3.1.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2 (1)}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.3.1.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.3.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.3.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.5

将 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.6

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} + \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.3

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1 + 2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.5

从 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中减去 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - 2 \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.4

化简项。

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解题步骤 4.3.2.4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.4.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.4.1.1.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt{2}}{2})) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.4.1.1.2

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{2}}{2})) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.4.1.1.3

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - 1 \sqrt{2}) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.4.1.2

将 $- 1 \sqrt{2}$ 重写为 $- \sqrt{2}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.4.2.1.1

将 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (2 (\frac{- \sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.4.2.1.2

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (2 (\frac{- \sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.4.2.1.3

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.4.2.2

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.3.2.4.2.2.1

对 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}))$

解题步骤 4.3.2.4.2.2.2

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})))$

解题步骤 4.3.2.4.2.3

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.2.4.2.3.1

移动 ${(- 1)}^{2}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))$

解题步骤 4.3.2.4.2.3.2

将 ${(- 1)}^{2}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 4.3.2.4.2.3.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})))$

解题步骤 4.3.2.4.2.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))$

解题步骤 4.3.2.4.2.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} + {(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))$

解题步骤 4.3.2.4.2.4

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})$

解题步骤 4.3.2.4.2.5

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 4.3.2.4.2.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

解题步骤 4.3.2.4.2.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

解题步骤 4.3.2.4.2.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

解题步骤 4.3.2.4.2.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.4.2.5.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

解题步骤 4.3.2.4.2.5.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2}{2^{2}})$

解题步骤 4.3.2.4.2.5.5

计算指数。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2}{2^{2}})$

解题步骤 4.3.2.4.2.6

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2}{4})$

解题步骤 4.3.2.4.2.7

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.4.2.7.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2 (1)}{4})$

解题步骤 4.3.2.4.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.4.2.7.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

解题步骤 4.3.2.4.2.7.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

解题步骤 4.3.2.4.2.7.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{1}{2})$

解题步骤 4.3.2.5

使用 FOIL 方法展开 $(\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 4.3.2.5.1

运用分配律。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3}{2} \cdot (- \sqrt{2} - \frac{1}{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2} - \frac{1}{2})$

解题步骤 4.3.2.5.2

运用分配律。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3}{2} \cdot (- \sqrt{2}) + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2} - \frac{1}{2})$

解题步骤 4.3.2.5.3

运用分配律。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3}{2} \cdot (- \sqrt{2}) + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.3.2.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.6.1.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.3.2.6.1.2

乘以 $\frac{3}{2} (- \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 4.3.2.6.1.2.1

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{2 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.3.2.6.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.3.2.6.1.3

乘以 $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 4.3.2.6.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.3.2.6.1.3.2

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.3.2.6.1.3.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.3.2.6.1.3.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.3.2.6.1.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + {\sqrt{2}}^{1 + 1} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.3.2.6.1.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + {\sqrt{2}}^{2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.3.2.6.1.4

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 4.3.2.6.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.3.2.6.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.3.2.6.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.3.2.6.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.6.1.4.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.3.2.6.1.4.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2 - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.3.2.6.1.4.5

计算指数。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2 - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.3.2.6.1.5

乘以 $- \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 4.3.2.6.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2 + 1 \sqrt{2} (\frac{1}{2})$

解题步骤 4.3.2.6.1.5.2

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2 + \sqrt{2} (\frac{1}{2})$

解题步骤 4.3.2.6.1.5.3

组合 $\sqrt{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.3.2.6.2

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2$

解题步骤 4.3.2.6.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 4.3.2.6.4

组合 $2$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

解题步骤 4.3.2.6.5

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} + \frac{- 3 + 2 \cdot 4}{4}$

解题步骤 4.3.2.6.6

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.6.6.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} + \frac{- 3 + 8}{4}$

解题步骤 4.3.2.6.6.2

将 $- 3$ 和 $8$ 相加。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} + \frac{5}{4}$

解题步骤 4.3.2.7

将 $- 3 \sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 相加。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2} + \frac{5}{4}$

解题步骤 4.3.2.8

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.8.1

从 $- 2 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2} + \frac{5}{4}$

解题步骤 4.3.2.8.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.8.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)} + \frac{5}{4}$

解题步骤 4.3.2.8.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1} + \frac{5}{4}$

解题步骤 4.3.2.8.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- \sqrt{2}}{1} + \frac{5}{4}$

解题步骤 4.3.2.8.2.4

用 $- \sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} + \frac{5}{4}$

解题步骤 4.3.2.9

最终答案为 $- \sqrt{2} + \frac{5}{4}$ 。

$- \sqrt{2} + \frac{5}{4}$

解题步骤 4.4

通过将 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 代入 $f (x) = {(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$ 中求得的点为 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \sqrt{2} + \frac{5}{4})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \sqrt{2} + \frac{5}{4})$

解题步骤 4.5

确定可能是拐点的点。

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4}), (- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \sqrt{2} + \frac{5}{4})$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 0.80710678$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.80710678) = - 12 {(- 0.80710678)}^{2} + 6$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 0.80710678$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.80710678) = - 12 \cdot 0.65142135 + 6$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 12$ 乘以 $0.65142135$ 。

$f'' (- 0.80710678) = - 7.81705627 + 6$

解题步骤 6.2.2

将 $- 7.81705627$ 和 $6$ 相加。

$f'' (- 0.80710678) = - 1.81705627$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 1.81705627$ 。

$- 1.81705627$

解题步骤 6.3

在 $- 0.80710678$ ，二阶导数为 $- 1.81705627$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = - 12 {(0)}^{2} + 6$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = - 12 \cdot 0 + 6$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 12$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 + 6$

解题步骤 7.2.2

将 $0$ 和 $6$ 相加。

$f'' (0) = 6$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $6$ 。

$6$

解题步骤 7.3

在 $0$ 处，二阶导数为 $6$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 上递增

解题步骤 8

将区间 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $0.80710678$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.80710678) = - 12 {(0.80710678)}^{2} + 6$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $0.80710678$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.80710678) = - 12 \cdot 0.65142135 + 6$

解题步骤 8.2.1.2

将 $- 12$ 乘以 $0.65142135$ 。

$f'' (0.80710678) = - 7.81705627 + 6$

解题步骤 8.2.2

将 $- 7.81705627$ 和 $6$ 相加。

$f'' (0.80710678) = - 1.81705627$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $- 1.81705627$ 。

$- 1.81705627$

解题步骤 8.3

在 $0.80710678$ ，二阶导数为 $- 1.81705627$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ 上递减

解题步骤 9

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \sqrt{2} + \frac{5}{4}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4})$ 。

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \sqrt{2} + \frac{5}{4}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4})$

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例