微积分学示例

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (x) + \ln (\frac{2 x}{1 + x})$

解题步骤 1

化简右边。

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解题步骤 1.1

化简 $\ln (x) + \ln (\frac{2 x}{1 + x})$ 。

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解题步骤 1.1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (x \frac{2 x}{1 + x})$

解题步骤 1.1.2

乘以 $x \frac{2 x}{1 + x}$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{2 x}{1 + x}$ 。

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{x (2 x)}{1 + x})$

解题步骤 1.1.2.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 (x^{1} x)}{1 + x})$

解题步骤 1.1.2.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 (x^{1} x^{1})}{1 + x})$

解题步骤 1.1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 x^{1 + 1}}{1 + x})$

解题步骤 1.1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 x^{2}}{1 + x})$

解题步骤 2

为使方程成立，方程两边对数的自变量必须相等。

$\frac{x^{2}}{1 - x} = \frac{2 x^{2}}{1 + x}$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将第一个分数的分子乘以第二个分数的分母。使其等于第一个分数的分母与第二个分数的分子的乘积。

$x^{2} (1 + x) = (1 - x) (2 x^{2})$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 3.2.1

化简 $x^{2} (1 + x)$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

重写。

$0 + 0 + x^{2} (1 + x) = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

解题步骤 3.2.1.2

通过加上各个零进行化简。

$x^{2} (1 + x) = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

解题步骤 3.2.1.3

运用分配律。

$x^{2} \cdot 1 + x^{2} x = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

解题步骤 3.2.1.4

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} + x^{2} x = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

解题步骤 3.2.1.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1.5.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1.5.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} + x^{2} x^{1} = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

解题步骤 3.2.1.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2} + x^{2 + 1} = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

解题步骤 3.2.1.5.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$x^{2} + x^{3} = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

解题步骤 3.2.2

化简 $(1 - x) \cdot (2 x^{2})$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

通过相乘进行化简。

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解题步骤 3.2.2.1.1

运用分配律。

$x^{2} + x^{3} = 1 (2 x^{2}) - x (2 x^{2})$

解题步骤 3.2.2.1.2

化简表达式。

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解题步骤 3.2.2.1.2.1

将 $2 x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - x (2 x^{2})$

解题步骤 3.2.2.1.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x \cdot x^{2}$

解题步骤 3.2.2.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.2.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.2.2.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 (x^{2} x)$

解题步骤 3.2.2.2.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.2.2.2.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 (x^{2} x^{1})$

解题步骤 3.2.2.2.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2 + 1}$

解题步骤 3.2.2.2.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{3}$

解题步骤 3.2.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 2 x^{3}$

解题步骤 3.2.3

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.2.3.1

从等式两边同时减去 $2 x^{2}$ 。

$x^{2} + x^{3} - 2 x^{2} = - 2 x^{3}$

解题步骤 3.2.3.2

在等式两边都加上 $2 x^{3}$ 。

$x^{2} + x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{3} = 0$

解题步骤 3.2.3.3

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$x^{3} - x^{2} + 2 x^{3} = 0$

解题步骤 3.2.3.4

将 $x^{3}$ 和 $2 x^{3}$ 相加。

$3 x^{3} - x^{2} = 0$

解题步骤 3.2.4

从 $3 x^{3} - x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

从 $3 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (3 x) - x^{2} = 0$

解题步骤 3.2.4.2

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1 = 0$

解题步骤 3.2.4.3

从 $x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (3 x - 1) = 0$

解题步骤 3.2.5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$3 x - 1 = 0$

解题步骤 3.2.6

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.6.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 3.2.6.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 3.2.6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 3.2.6.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 3.2.6.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 3.2.6.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 3.2.6.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.2.7

将 $3 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.7.1

将 $3 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$3 x - 1 = 0$

解题步骤 3.2.7.2

求解 $x$ 的 $3 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.7.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$3 x = 1$

解题步骤 3.2.7.2.2

将 $3 x = 1$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.2.7.2.2.1

将 $3 x = 1$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 3.2.7.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.7.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.7.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 3.2.7.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{3}$

解题步骤 3.2.8

最终解为使 $x^{2} (3 x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \frac{1}{3}$

解题步骤 4

排除不能使 $\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (x) + \ln (\frac{2 x}{1 + x})$ 成立的解。

$x = \frac{1}{3}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{1}{3}$

小数形式：

$x = 0.\overline{3}$

微积分学 示例

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