微积分学示例

$f (x) = \frac{3 x - 4}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 3 x - 4$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (3 + 0) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 3 - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

将 $3$ 移到 $x^{2} + 1$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot (x^{2} + 1) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.7

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.9

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.10

化简表达式。

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解题步骤 2.10.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.10.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 (x^{2} + 1) - 2 (3 x - 4) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{3 x^{2} + 3 \cdot 1 - 2 (3 x - 4) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{3 x^{2} + 3 \cdot 1 + (- 2 (3 x) - 2 \cdot - 4) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\frac{3 x^{2} + 3 \cdot 1 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.1.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 x^{2} + 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{3 x^{2} + 3 - 2 (3 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{3 x^{2} + 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.3

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{3 x^{2} + 3 - 6 x^{2} - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.4

将 $- 2$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{3 x^{2} + 3 - 6 x^{2} + 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

从 $3 x^{2}$ 中减去 $6 x^{2}$ 。

$\frac{- 3 x^{2} + 3 + 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5

重新排序项。

$\frac{- 3 x^{2} + 8 x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6

分组因式分解。

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解题步骤 3.6.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 3 \cdot 3 = - 9$ 并且它们的和为 $b = 8$ 。

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解题步骤 3.6.1.1

从 $8 x$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{- 3 x^{2} + 8 (x) + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6.1.2

把 $8$ 重写为 $- 1$ 加 $9$

$\frac{- 3 x^{2} + (- 1 + 9) x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6.1.3

运用分配律。

$\frac{- 3 x^{2} - 1 x + 9 x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.6.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(- 3 x^{2} - 1 x) + 9 x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{x (- 3 x - 1) - 3 (- 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6.3

通过因式分解出最大公因数 $- 3 x - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(- 3 x - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.7

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(- (3 x) - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.8

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{(- (3 x) - 1 (1)) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.9

从 $- (3 x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.10

将 $- (3 x + 1)$ 重写为 $- 1 (3 x + 1)$ 。

$\frac{- 1 (3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

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