微积分学示例

$f (x) = \frac{3}{x + 2} - \sqrt{x - 3}$

解题步骤 1

根据加法法则， $\frac{3}{x + 2} - \sqrt{x - 3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x + 2}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3}{x + 2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 2}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{x + 2}$ 重写为 ${(x + 2)}^{- 1}$ 。

$3 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x + 2$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x + 2$ 。

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$3 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

解题步骤 2.3.3

使用 $x + 2$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$3 (- {(x + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

解题步骤 2.4

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$3 (- {(x + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (- {(x + 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

解题步骤 2.6

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 (- {(x + 2)}^{- 2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

解题步骤 2.7

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$3 (- {(x + 2)}^{- 2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

解题步骤 2.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$3 (- {(x + 2)}^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

解题步骤 2.9

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x - 3}$ 重写成 ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} + \frac{d}{d x} [- {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x - 3$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x - 3$ 。

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 3])$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])$

解题步骤 3.3.3

使用 $x - 3$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])$

解题步骤 3.4

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

解题步骤 3.6

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))$

解题步骤 3.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))$

解题步骤 3.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

解题步骤 3.9

在公分母上合并分子。

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

解题步骤 3.10

化简分子。

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解题步骤 3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))$

解题步骤 3.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))$

解题步骤 3.11

将负号移到分数的前面。

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))$

解题步骤 3.12

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 3.13

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)$

解题步骤 3.14

将 $\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - \frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 3.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 3 \frac{1}{{(x + 2)}^{2}} - \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{{(x + 2)}^{2}}$ 。

$\frac{- 3}{{(x + 2)}^{2}} - \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{{(x + 2)}^{2}} - \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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