微积分学示例

$f (x) = \frac{4 t}{3 \sqrt{t - 2}}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t - 2}$ 重写成 ${(t - 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d t} [\frac{4 t}{3 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{4}{3}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{4 t}{3 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{4}{3} \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$\frac{4}{3} \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = t$ 且 $g (t) = {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(t - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3

将 ${({(t - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.2.2

重写表达式。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t - 2)}^{1}}$

解题步骤 4

化简。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}]}{t - 2}$

解题步骤 5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}]}{t - 2}$

解题步骤 5.2

将 ${(t - 2)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}]}{t - 2}$

解题步骤 6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (t) = t - 2$ 。

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解题步骤 6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $t - 2$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

解题步骤 6.3

使用 $t - 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t - 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

解题步骤 7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t - 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

解题步骤 8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

解题步骤 9

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

解题步骤 10

化简分子。

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解题步骤 10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t - 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

解题步骤 10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t - 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

解题步骤 11

合并分数。

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解题步骤 11.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t - 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

解题步骤 11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(t - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{{(t - 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

解题步骤 11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(t - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

解题步骤 11.4

组合 $\frac{1}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $t$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t - 2]}{t - 2}$

解题步骤 12

根据加法法则， $t - 2$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{t - 2}$

解题步骤 13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d t} [- 2])}{t - 2}$

解题步骤 14

因为 $- 2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{t - 2}$

解题步骤 15

化简表达式。

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解题步骤 15.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{t - 2}$

解题步骤 15.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

解题步骤 16

要将 ${(t - 2)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

解题步骤 17

组合 ${(t - 2)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

解题步骤 18

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

解题步骤 19

通过指数相加将 ${(t - 2)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(t - 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 19.1

移动 ${(t - 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} {(t - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

解题步骤 19.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

解题步骤 19.3

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(t - 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

解题步骤 19.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(t - 2)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

解题步骤 19.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(t - 2)}^{1} \cdot 2 - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

解题步骤 20

化简 ${(t - 2)}^{1} \cdot 2$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{(t - 2) \cdot 2 - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

解题步骤 21

将 $2$ 移到 $t - 2$ 的左侧。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{2 \cdot (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

解题步骤 22

将 $\frac{\frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$ 重写为乘积形式。

$\frac{4}{3} (\frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{t - 2})$

解题步骤 23

将 $\frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{t - 2}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}} (t - 2)}$

解题步骤 24

对 $t - 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{2 (t - 2) - t}{2 ({(t - 2)}^{1} {(t - 2)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 25

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 26

化简表达式。

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解题步骤 26.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.2

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

解题步骤 26.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 27

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $\frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{4 (2 (t - 2) - t)}{3 (2 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 28

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4 (2 (t - 2) - t)}{6 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 29

从 $4 (2 (t - 2) - t)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 (2 (t - 2) - t))}{6 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 30

约去公因数。

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解题步骤 30.1

从 $6 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 (2 (t - 2) - t))}{2 (3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 30.2

约去公因数。

$\frac{2 (2 (2 (t - 2) - t))}{2 (3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 30.3

重写表达式。

$\frac{2 (2 (t - 2) - t)}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 31

化简。

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解题步骤 31.1

运用分配律。

$\frac{2 (2 t + 2 \cdot - 2 - t)}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 31.2

运用分配律。

$\frac{2 (2 t) + 2 (2 \cdot - 2) + 2 (- t)}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 31.3

化简分子。

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解题步骤 31.3.1

化简每一项。

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解题步骤 31.3.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 t + 2 (2 \cdot - 2) + 2 (- t)}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 31.3.1.2

乘以 $2 (2 \cdot - 2)$ 。

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解题步骤 31.3.1.2.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{4 t + 2 \cdot - 4 + 2 (- t)}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 31.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{4 t - 8 + 2 (- t)}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 31.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 t - 8 - 2 t}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 31.3.2

从 $4 t$ 中减去 $2 t$ 。

$\frac{2 t - 8}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 31.4

从 $2 t - 8$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 31.4.1

从 $2 t$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (t) - 8}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 31.4.2

从 $- 8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 t + 2 \cdot - 4}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 31.4.3

从 $2 t + 2 \cdot - 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (t - 4)}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

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