微积分学示例

$lim_{x \to - 4} \frac{8 x^{2} + 40 x + 32}{x + 4}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to - 4} 8 x^{2} + 40 x + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $- 4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 4} 8 x^{2} + lim_{x \to - 4} 40 x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

解题步骤 1.1.2.2

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{8 lim_{x \to - 4} x^{2} + lim_{x \to - 4} 40 x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

解题步骤 1.1.2.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + lim_{x \to - 4} 40 x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

解题步骤 1.1.2.4

因为项 $40$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 40 lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

解题步骤 1.1.2.5

计算 $32$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 4$ 时此极限值为常数。

$\frac{8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 40 lim_{x \to - 4} x + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

解题步骤 1.1.2.6

将 $- 4$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.6.1

将 $- 4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{8 {(- 4)}^{2} + 40 lim_{x \to - 4} x + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

解题步骤 1.1.2.6.2

将 $- 4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{8 {(- 4)}^{2} + 40 \cdot - 4 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

解题步骤 1.1.2.7

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.7.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{8 \cdot 16 + 40 \cdot - 4 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

解题步骤 1.1.2.7.1.2

将 $8$ 乘以 $16$ 。

$\frac{128 + 40 \cdot - 4 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

解题步骤 1.1.2.7.1.3

将 $40$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{128 - 160 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

解题步骤 1.1.2.7.2

从 $128$ 中减去 $160$ 。

$\frac{- 32 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

解题步骤 1.1.2.7.3

将 $- 32$ 和 $32$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $- 4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 4}$

解题步骤 1.1.3.1.2

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 4$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $- 4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{- 4 + 4}$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - 4} \frac{8 x^{2} + 40 x + 32}{x + 4} = lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{2} + 40 x + 32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{2} + 40 x + 32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $8 x^{2} + 40 x + 32$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{8 (2 x) + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.3.3

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [40 x]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $40$ 对于 $x$ 是常数，所以 $40 x$ 对 $x$ 的导数是 $40 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $40$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.5

因为 $32$ 对于 $x$ 是常数，所以 $32$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.6

将 $16 x + 40$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.7

根据加法法则， $x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}$

解题步骤 1.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{1 + \frac{d}{d x} [4]}$

解题步骤 1.3.9

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{1 + 0}$

解题步骤 1.3.10

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{1}$

解题步骤 1.4

用 $16 x + 40$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to - 4} 16 x + 40$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $x$ 趋于 $- 4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to - 4} 16 x + lim_{x \to - 4} 40$

解题步骤 2.2

因为项 $16$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$16 lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 40$

解题步骤 2.3

计算 $40$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 4$ 时此极限值为常数。

$16 lim_{x \to - 4} x + 40$

解题步骤 3

将 $- 4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$16 \cdot - 4 + 40$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

将 $16$ 乘以 $- 4$ 。

$- 64 + 40$

解题步骤 4.2

将 $- 64$ 和 $40$ 相加。

$- 24$

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