微积分学示例

$f (x) = 4 \sqrt{x} \sin (x)$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$

解题步骤 1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{\frac{1}{2}} \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$4 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

解题步骤 6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

解题步骤 8.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

解题步骤 9

将负号移到分数的前面。

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

解题步骤 10

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 11

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{\sin (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

运用分配律。

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x)) + 4 \frac{\sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 13.2

合并项。

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解题步骤 13.2.1

组合 $4$ 和 $\frac{\sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$4 x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{4 \sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 13.2.2

从 $4 \sin (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{2 (2 \sin (x))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 13.2.3

约去公因数。

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解题步骤 13.2.3.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{2 (2 \sin (x))}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 13.2.3.2

约去公因数。

$4 x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{2 (2 \sin (x))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 13.2.3.3

重写表达式。

$4 x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{2 \sin (x)}{x^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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