微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{e^{5 x} - 1 - 5 x}{x^{2}}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1 - 5 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{5 x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.2.2

将极限移入指数中。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} 5 x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.2.3

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{e^{5 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.2.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{e^{5 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.2.5

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{e^{5 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - 5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.2.6

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{e^{5 \cdot 0} - 1 \cdot 1 - 5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.2.6.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{e^{5 \cdot 0} - 1 \cdot 1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.2.7

化简答案。

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解题步骤 1.2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.7.1.1

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.2.7.1.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.2.7.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.2.7.1.4

将 $- 5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.2.7.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.2.7.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0^{2}}$

解题步骤 1.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{5 x} - 1 - 5 x}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1 - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1 - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $e^{5 x} - 1 - 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.1.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{5 x} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.5

将 $5$ 移到 $e^{5 x}$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} + 0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.5

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ 。

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解题步骤 3.5.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} + 0 - 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} + 0 - 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.5.3

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} + 0 - 5}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.6

将 $5 e^{5 x}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} - 5}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} - 5}{2 x}$

解题步骤 4

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} - 5}{x}$

解题步骤 5

运用洛必达法则。

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解题步骤 5.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 5.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 5 e^{5 x} - 5}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 5.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 5.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 5 e^{5 x} - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.1.2

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 lim_{x \to 0} e^{5 x} - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.1.3

将极限移入指数中。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 e^{lim_{x \to 0} 5 x} - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.1.4

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 e^{5 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.1.5

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 e^{5 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 e^{5 \cdot 0} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 5.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.2.3.1.1

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 e^{0} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.3.1.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cdot 1 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.3.1.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 - 5}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.3.2

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 5.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 5.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} - 5}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 e^{5 x} - 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 5.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 e^{5 x} - 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.2

根据加法法则， $5 e^{5 x} - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 e^{5 x}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

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解题步骤 5.3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 x$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 e^{u} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.2.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} \cdot 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.5

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.6

将 $5$ 移到 $e^{5 x}$ 的左侧。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot 5 \cdot e^{5 x} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.7

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{25 e^{5 x} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.4

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{25 e^{5 x} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.5

将 $25 e^{5 x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{25 e^{5 x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{25 e^{5 x}}{1}$

解题步骤 5.4

用 $25 e^{5 x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 25 e^{5 x}$

解题步骤 6

计算极限值。

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解题步骤 6.1

因为项 $25$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot 25 lim_{x \to 0} e^{5 x}$

解题步骤 6.2

将极限移入指数中。

$\frac{1}{2} \cdot 25 e^{lim_{x \to 0} 5 x}$

解题步骤 6.3

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot 25 e^{5 lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 7

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot 25 e^{5 \cdot 0}$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $25$ 。

$\frac{25}{2} e^{5 \cdot 0}$

解题步骤 8.2

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{25}{2} e^{0}$

解题步骤 8.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{25}{2} \cdot 1$

解题步骤 8.4

将 $\frac{25}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{25}{2}$

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