微积分学示例

$f (x) = - 3 x - \frac{12}{x}$

解题步骤 1

根据加法法则， $- 3 x - \frac{12}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{12}{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{12}{x}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{12}{x}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{12}{x}]$

解题步骤 2.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$- 3 + \frac{d}{d x} [- \frac{12}{x}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{12}{x}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{12}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$- 3 - 12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$- 3 - 12 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- 3 - 12 (- x^{- 2})$

解题步骤 3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 12$ 。

$- 3 + 12 x^{- 2}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 3 + 12 \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 4.2

组合 $12$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$- 3 + \frac{12}{x^{2}}$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$\frac{12}{x^{2}} - 3$

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