微积分学示例

$f (x) = 4 x (\sin (x) + \cos (x))$

解题步骤 1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x (\sin (x) + \cos (x))$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x (\sin (x) + \cos (x))]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x (\sin (x) + \cos (x))]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ 。

$4 (x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3

根据加法法则， $\sin (x) + \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$4 (x (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$4 (x (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$4 (x (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6

使用幂法则求微分。

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解题步骤 6.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (x (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \cdot 1)$

解题步骤 6.2

将 $\sin (x) + \cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$4 (x (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) + \cos (x))$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$4 (x \cos (x) + x (- \sin (x)) + \sin (x) + \cos (x))$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$4 (x \cos (x)) + 4 (x (- \sin (x))) + 4 \sin (x) + 4 \cos (x)$

解题步骤 7.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$4 x \cos (x) - 4 x \sin (x) + 4 \sin (x) + 4 \cos (x)$

微积分学 示例

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