微积分学示例

$f (x) = 4 \sin (x) + 3 x^{x}$

解题步骤 1

根据加法法则， $4 \sin (x) + 3 x^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$

解题步骤 2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{x}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{x}]$ 。

$4 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [x^{x}]$

解题步骤 3.2

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 3.2.1

将 $x^{x}$ 重写为 $e^{\ln (x^{x})}$ 。

$4 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

解题步骤 3.2.2

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{x})$ 。

$4 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x \ln (x)$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x \ln (x)$ 。

$4 \cos (x) + 3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

解题步骤 3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$4 \cos (x) + 3 (e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

解题步骤 3.3.3

使用 $x \ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

解题步骤 3.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.5

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1))$

解题步骤 3.7

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1))$

解题步骤 3.8

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.1

约去公因数。

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1))$

解题步骤 3.8.2

重写表达式。

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1))$

解题步骤 3.9

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$4 \cos (x) + 3 e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$4 \cos (x) + 3 e^{x \ln (x)} \cdot 1 + 3 e^{x \ln (x)} \ln (x)$

解题步骤 4.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$4 \cos (x) + 3 e^{x \ln (x)} + 3 e^{x \ln (x)} \ln (x)$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$3 e^{x \ln (x)} \ln (x) + 3 e^{x \ln (x)} + 4 \cos (x)$

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