微积分学示例

$f (x) = 4 x^{2} + \frac{12}{\sqrt{x^{3}}} + 3$

解题步骤 1

根据加法法则， $4 x^{2} + \frac{12}{\sqrt{x^{3}}} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 x + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{3}}$ 重写成 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$8 x + \frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{\frac{3}{2}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.2

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{12}{x^{\frac{3}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ 。

$8 x + 12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.3

将 $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 。

$8 x + 12 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$8 x + 12 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$8 x + 12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.4.3

使用 $x^{\frac{3}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$8 x + 12 (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$8 x + 12 (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.6

将 ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$8 x + 12 (- x^{\frac{3}{2} \cdot - 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.6.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 x + 12 (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.6.2.2

约去公因数。

$8 x + 12 (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.6.2.3

重写表达式。

$8 x + 12 (- x^{3 \cdot - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.6.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.9

在公分母上合并分子。

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.10

化简分子。

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解题步骤 3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.10.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.11

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$8 x + 12 (- x^{- 3} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.12

组合 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x^{- 3}$ 。

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x^{- 3}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.13

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{- 3}$ 。

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解题步骤 3.13.1

移动 $x^{- 3}$ 。

$8 x + 12 (- \frac{3 (x^{- 3} x^{\frac{1}{2}})}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.13.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{- 3 + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.13.3

要将 $- 3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.13.4

组合 $- 3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.13.5

在公分母上合并分子。

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2 + 1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.13.6

化简分子。

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解题步骤 3.13.6.1

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{- 6 + 1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.13.6.2

将 $- 6$ 和 $1$ 相加。

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{- 5}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.13.7

将负号移到分数的前面。

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{- \frac{5}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{5}{2}}$ 移动到分母。

$8 x + 12 (- \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.15

将 $- 1$ 乘以 $12$ 。

$8 x - 12 \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.16

组合 $- 12$ 和 $\frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$ 。

$8 x + \frac{- 12 \cdot 3}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.17

将 $- 12$ 乘以 $3$ 。

$8 x + \frac{- 36}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.18

从 $- 36$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 x + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.19

约去公因数。

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解题步骤 3.19.1

从 $2 x^{\frac{5}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 x + \frac{2 \cdot - 18}{2 (x^{\frac{5}{2}})} + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.19.2

约去公因数。

$8 x + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.19.3

重写表达式。

$8 x + \frac{- 18}{x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.20

将负号移到分数的前面。

$8 x - \frac{18}{x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$8 x - \frac{18}{x^{\frac{5}{2}}} + 0$

解题步骤 4.2

将 $8 x - \frac{18}{x^{\frac{5}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$8 x - \frac{18}{x^{\frac{5}{2}}}$

微积分学 示例

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