微积分学示例

$f (x) = 7 e^{x} + 2 x - 3 \ln (x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $7 e^{x} + 2 x - 3 \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [7 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [7 e^{x}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$7 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$7 e^{x} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$7 e^{x} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$7 e^{x} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$7 e^{x} + 2 + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$7 e^{x} + 2 - 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 4.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$7 e^{x} + 2 - 3 \frac{1}{x}$

解题步骤 4.3

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$7 e^{x} + 2 + \frac{- 3}{x}$

解题步骤 4.4

将负号移到分数的前面。

$7 e^{x} + 2 - \frac{3}{x}$

解题步骤 5

重新排序项。

$- \frac{3}{x} + 7 e^{x} + 2$

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