微积分学示例

$f (x) = 5 x {(x^{4} + 1)}^{5}$

解题步骤 1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x {(x^{4} + 1)}^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x {(x^{4} + 1)}^{5}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x {(x^{4} + 1)}^{5}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{4} + 1)}^{5}$ 。

$5 (x \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{5}] + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = x^{4} + 1$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{4} + 1$ 。

$5 (x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 (x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用 $x^{4} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 (x (5 {(x^{4} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $x^{4} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$5 (x (5 {(x^{4} + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$5 (x (5 {(x^{4} + 1)}^{4} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 (x (5 {(x^{4} + 1)}^{4} (4 x^{3} + 0)) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.4

化简表达式。

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解题步骤 4.4.1

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$5 (x (5 {(x^{4} + 1)}^{4} (4 x^{3})) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.4.2

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$5 (x (20 {(x^{4} + 1)}^{4} x^{3}) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 (x^{3} x^{1} (20 {(x^{4} + 1)}^{4}) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 (x^{3 + 1} (20 {(x^{4} + 1)}^{4}) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$5 (x^{4} (20 {(x^{4} + 1)}^{4}) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 (x^{4} (20 {(x^{4} + 1)}^{4}) + {(x^{4} + 1)}^{5} \cdot 1)$

解题步骤 9

将 ${(x^{4} + 1)}^{5}$ 乘以 $1$ 。

$5 (x^{4} (20 {(x^{4} + 1)}^{4}) + {(x^{4} + 1)}^{5})$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$5 (x^{4} (20 {(x^{4} + 1)}^{4})) + 5 {(x^{4} + 1)}^{5}$

解题步骤 10.2

将 $20$ 乘以 $5$ 。

$100 (x^{4} ({(x^{4} + 1)}^{4})) + 5 {(x^{4} + 1)}^{5}$

解题步骤 10.3

从 $100 x^{4} {(x^{4} + 1)}^{4} + 5 {(x^{4} + 1)}^{5}$ 中分解出因数 $5 {(x^{4} + 1)}^{4}$ 。

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解题步骤 10.3.1

从 $100 x^{4} {(x^{4} + 1)}^{4}$ 中分解出因数 $5 {(x^{4} + 1)}^{4}$ 。

$5 {(x^{4} + 1)}^{4} (20 x^{4}) + 5 {(x^{4} + 1)}^{5}$

解题步骤 10.3.2

从 $5 {(x^{4} + 1)}^{5}$ 中分解出因数 $5 {(x^{4} + 1)}^{4}$ 。

$5 {(x^{4} + 1)}^{4} (20 x^{4}) + 5 {(x^{4} + 1)}^{4} (x^{4} + 1)$

解题步骤 10.3.3

从 $5 {(x^{4} + 1)}^{4} (20 x^{4}) + 5 {(x^{4} + 1)}^{4} (x^{4} + 1)$ 中分解出因数 $5 {(x^{4} + 1)}^{4}$ 。

$5 {(x^{4} + 1)}^{4} (20 x^{4} + x^{4} + 1)$

解题步骤 10.4

将 $20 x^{4}$ 和 $x^{4}$ 相加。

$5 {(x^{4} + 1)}^{4} (21 x^{4} + 1)$

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