微积分学示例

$f (x) = \arccos (\ln (x^{2}))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arccos (x)$ 且 $g (x) = \ln (x^{2})$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\ln (x^{2})$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

解题步骤 1.2

$\arccos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

解题步骤 1.3

使用 $\ln (x^{2})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{2}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}} (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}}$ 。

$- \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}} (2 x)$

解题步骤 3.3

化简项。

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解题步骤 3.3.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}} x$

解题步骤 3.3.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}}$ 。

$\frac{- 2}{x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}} x$

解题步骤 3.3.3

组合 $\frac{- 2}{x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}}$ 和 $x$ 。

$\frac{- 2 x}{x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}}$

解题步骤 3.3.4

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.4.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot - 2}{x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}}$

解题步骤 3.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.4.2.1

从 $x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot - 2}{x (x \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})})}$

解题步骤 3.3.4.2.2

约去公因数。

$\frac{x \cdot - 2}{x (x \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})})}$

解题步骤 3.3.4.2.3

重写表达式。

$\frac{- 2}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}}$

解题步骤 3.3.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}}$

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