微积分学示例

$x e^{x}$

解题步骤 1

将 $x e^{x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x e^{x}$

解题步骤 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 2.1

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.1.1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

解题步骤 2.1.1.3.2

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

解题步骤 2.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $x e^{x} + e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.1.2.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.1.2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.1.2.2.4

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.1.2.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

解题步骤 2.1.2.4

化简。

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解题步骤 2.1.2.4.1

将 $e^{x}$ 和 $e^{x}$ 相加。

$x e^{x} + 2 e^{x}$

解题步骤 2.1.2.4.2

重新排序项。

$e^{x} x + 2 e^{x}$

解题步骤 2.1.2.4.3

将 $e^{x} x + 2 e^{x}$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

解题步骤 2.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $x e^{x} + 2 e^{x}$ 。

$x e^{x} + 2 e^{x}$

解题步骤 2.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $x e^{x} + 2 e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $x e^{x} + 2 e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $x e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{x} x + 2 e^{x} = 0$

解题步骤 2.2.2.2

从 $2 e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{x} x + e^{x} \cdot 2 = 0$

解题步骤 2.2.2.3

从 $e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{x} (x + 2) = 0$

解题步骤 2.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.2.4

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

解题步骤 2.2.4.2

求解 $x$ 的 $e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 2.2.4.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

解题步骤 2.2.4.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 2.2.4.2.3

$e^{x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 2.2.5

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.5.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.2.5.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 2.2.6

最终解为使 $e^{x} (x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 2$

解题步骤 3

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 2)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 4) = (- 4) \cdot e^{- 4} + 2 e^{- 4}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (- 4) = - 4 \cdot \frac{1}{e^{4}} + 2 e^{- 4}$

解题步骤 5.2.1.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{e^{4}}$ 。

$f'' (- 4) = \frac{- 4}{e^{4}} + 2 e^{- 4}$

解题步骤 5.2.1.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (- 4) = - \frac{4}{e^{4}} + 2 e^{- 4}$

解题步骤 5.2.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (- 4) = - \frac{4}{e^{4}} + 2 (\frac{1}{e^{4}})$

解题步骤 5.2.1.5

组合 $2$ 和 $\frac{1}{e^{4}}$ 。

$f'' (- 4) = - \frac{4}{e^{4}} + \frac{2}{e^{4}}$

解题步骤 5.2.2

合并分数。

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解题步骤 5.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f'' (- 4) = \frac{- 4 + 2}{e^{4}}$

解题步骤 5.2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 5.2.2.2.1

将 $- 4$ 和 $2$ 相加。

$f'' (- 4) = \frac{- 2}{e^{4}}$

解题步骤 5.2.2.2.2

将负号移到分数的前面。

$f'' (- 4) = - \frac{2}{e^{4}}$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- \frac{2}{e^{4}}$ 。

$- \frac{2}{e^{4}}$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- \infty, - 2)$ 上向下凹，因为 $f'' (- 4)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, - 2)$ 上为向下凹

解题步骤 6

将区间 $(- 2, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = (0) \cdot e^{0} + 2 e^{0}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$f'' (0) = 0 \cdot 1 + 2 e^{0}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$f'' (0) = 0 + 2 e^{0}$

解题步骤 6.2.1.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$f'' (0) = 0 + 2 \cdot 1$

解题步骤 6.2.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (0) = 0 + 2$

解题步骤 6.2.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$f'' (0) = 2$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $2$ 。

$2$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(- 2, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (0)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- 2, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 7

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, - 2)$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- 2, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 8

微积分学 示例

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