微积分学示例

$f (x) = x^{5} - 10 x^{3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{5} - 10 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{3})$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$f' (x) = 5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 10 x^{3})$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 5 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} x^{3}$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 5 x^{4} - 10 (3 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 10$ 。

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $5 x^{4} - 30 x^{2}$ 。

$5 x^{4} - 30 x^{2}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $5 x^{4} - 30 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$5 x^{4} - 30 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$5 {(x^{2})}^{2} - 30 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.2

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$5 u^{2} - 30 u = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $5 u^{2} - 30 u$ 中分解出因数 $5 u$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

从 $5 u^{2}$ 中分解出因数 $5 u$ 。

$5 u (u) - 30 u = 0$

解题步骤 2.2.3.2

从 $- 30 u$ 中分解出因数 $5 u$ 。

$5 u (u) + 5 u (- 6) = 0$

解题步骤 2.2.3.3

从 $5 u (u) + 5 u (- 6)$ 中分解出因数 $5 u$ 。

$5 u (u - 6) = 0$

解题步骤 2.2.4

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 x^{2} (x^{2} - 6) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 2.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 2.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $x^{2} - 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x^{2} - 6$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 6 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

在等式两边都加上 $6$ 。

$x^{2} = 6$

解题步骤 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{6}$

解题步骤 2.5.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.5.2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{6}$

解题步骤 2.5.2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{6}$

解题步骤 2.5.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

解题步骤 2.6

最终解为使 $5 x^{2} (x^{2} - 6) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{5} - 10 x^{3}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

${(0)}^{5} - 10 {(0)}^{3}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - 10 {(0)}^{3}$

解题步骤 4.1.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - 10 \cdot 0$

解题步骤 4.1.2.1.3

将 $- 10$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0$

解题步骤 4.1.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 4.2

在 $x = \sqrt{6}$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $\sqrt{6}$ 替换 $x$ 。

${(\sqrt{6})}^{5} - 10 {(\sqrt{6})}^{3}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

将 ${\sqrt{6}}^{5}$ 重写为 $\sqrt{6^{5}}$ 。

$\sqrt{6^{5}} - 10 {(\sqrt{6})}^{3}$

解题步骤 4.2.2.1.2

对 $6$ 进行 $5$ 次方运算。

$\sqrt{7776} - 10 {(\sqrt{6})}^{3}$

解题步骤 4.2.2.1.3

将 $7776$ 重写为 $36^{2} \cdot 6$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.3.1

从 $7776$ 中分解出因数 $1296$ 。

$\sqrt{1296 (6)} - 10 {(\sqrt{6})}^{3}$

解题步骤 4.2.2.1.3.2

将 $1296$ 重写为 $36^{2}$ 。

$\sqrt{36^{2} \cdot 6} - 10 {(\sqrt{6})}^{3}$

解题步骤 4.2.2.1.4

从根式下提出各项。

$36 \sqrt{6} - 10 {(\sqrt{6})}^{3}$

解题步骤 4.2.2.1.5

将 ${\sqrt{6}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{6^{3}}$ 。

$36 \sqrt{6} - 10 \sqrt{6^{3}}$

解题步骤 4.2.2.1.6

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$36 \sqrt{6} - 10 \sqrt{216}$

解题步骤 4.2.2.1.7

将 $216$ 重写为 $6^{2} \cdot 6$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.7.1

从 $216$ 中分解出因数 $36$ 。

$36 \sqrt{6} - 10 \sqrt{36 (6)}$

解题步骤 4.2.2.1.7.2

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$36 \sqrt{6} - 10 \sqrt{6^{2} \cdot 6}$

解题步骤 4.2.2.1.8

从根式下提出各项。

$36 \sqrt{6} - 10 (6 \sqrt{6})$

解题步骤 4.2.2.1.9

将 $6$ 乘以 $- 10$ 。

$36 \sqrt{6} - 60 \sqrt{6}$

解题步骤 4.2.2.2

从 $36 \sqrt{6}$ 中减去 $60 \sqrt{6}$ 。

$- 24 \sqrt{6}$

解题步骤 4.3

在 $x = - \sqrt{6}$ 处计算

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解题步骤 4.3.1

代入 $- \sqrt{6}$ 替换 $x$ 。

${(- \sqrt{6})}^{5} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3}$

解题步骤 4.3.2

化简。

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解题步骤 4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对 $- \sqrt{6}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{5} {\sqrt{6}}^{5} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3}$

解题步骤 4.3.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$- {\sqrt{6}}^{5} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3}$

解题步骤 4.3.2.1.3

将 ${\sqrt{6}}^{5}$ 重写为 $\sqrt{6^{5}}$ 。

$- \sqrt{6^{5}} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3}$

解题步骤 4.3.2.1.4

对 $6$ 进行 $5$ 次方运算。

$- \sqrt{7776} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3}$

解题步骤 4.3.2.1.5

将 $7776$ 重写为 $36^{2} \cdot 6$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.5.1

从 $7776$ 中分解出因数 $1296$ 。

$- \sqrt{1296 (6)} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3}$

解题步骤 4.3.2.1.5.2

将 $1296$ 重写为 $36^{2}$ 。

$- \sqrt{36^{2} \cdot 6} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3}$

解题步骤 4.3.2.1.6

从根式下提出各项。

$- (36 \sqrt{6}) - 10 {(- \sqrt{6})}^{3}$

解题步骤 4.3.2.1.7

将 $36$ 乘以 $- 1$ 。

$- 36 \sqrt{6} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3}$

解题步骤 4.3.2.1.8

对 $- \sqrt{6}$ 运用乘积法则。

$- 36 \sqrt{6} - 10 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{6}}^{3})$

解题步骤 4.3.2.1.9

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- {\sqrt{6}}^{3})$

解题步骤 4.3.2.1.10

将 ${\sqrt{6}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{6^{3}}$ 。

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- \sqrt{6^{3}})$

解题步骤 4.3.2.1.11

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- \sqrt{216})$

解题步骤 4.3.2.1.12

将 $216$ 重写为 $6^{2} \cdot 6$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.12.1

从 $216$ 中分解出因数 $36$ 。

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- \sqrt{36 (6)})$

解题步骤 4.3.2.1.12.2

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- \sqrt{6^{2} \cdot 6})$

解题步骤 4.3.2.1.13

从根式下提出各项。

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- (6 \sqrt{6}))$

解题步骤 4.3.2.1.14

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- 6 \sqrt{6})$

解题步骤 4.3.2.1.15

将 $- 6$ 乘以 $- 10$ 。

$- 36 \sqrt{6} + 60 \sqrt{6}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $- 36 \sqrt{6}$ 和 $60 \sqrt{6}$ 相加。

$24 \sqrt{6}$

解题步骤 4.4

列出所有的点。

$(0, 0), (\sqrt{6}, - 24 \sqrt{6}), (- \sqrt{6}, 24 \sqrt{6})$

解题步骤 5

微积分学 示例

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